结论：即使没有劳动合同，但只要有私人转账工资记录等证据，公司欠员工一个月工资，员工仍然有很大机会维权成功。
法律背景与依据
劳动合同的认定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。然而，在实际操作中，许多用人单位并未与劳动者签订书面劳动合同。但这并不意味着劳动关系不存在，只要双方存在事实上的劳动关系，即劳动者为用人单位提供劳动，用人单位支付劳动报酬，就可以认定劳动关系存在。
工资支付的证据：
- 私人转账工资记录是证明劳动关系和工资支付情况的重要证据。这些记录可以显示用人单位向劳动者支付工资的时间、金额等信息，从而证明双方存在劳动关系以及用人单位拖欠工资的事实。
维权途径：
- 劳动者在遭遇用人单位拖欠工资时，可以向当地劳动监察部门投诉，要求用人单位支付拖欠的工资。
- 如果投诉无果，劳动者还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付拖欠的工资以及可能的经济补偿金。
- 对仲裁结果不服的，劳动者还可以向人民法院提起诉讼。
具体分析与建议
收集证据：
- 除了私人转账工资记录外，劳动者还应尽可能收集其他与劳动关系相关的证据，如工作证、工作服、考勤记录、同事证言等。这些证据可以相互印证，形成完整的证据链，提高维权成功的几率。
与用人单位协商：
- 在采取法律行动之前，劳动者可以尝试与用人单位进行协商，要求用人单位支付拖欠的工资。如果协商成功，可以节省时间和精力，避免不必要的法律纠纷。
寻求法律援助：
- 如果劳动者对法律程序不熟悉或担心自己无法有效维权，可以寻求法律援助或咨询专业律师。律师可以提供专业的法律意见和帮助，指导劳动者如何收集证据、如何申请仲裁或提起诉讼等。
注意时效性：
- 劳动者在维权时应注意时效性。根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应在发现用人单位拖欠工资后尽快采取行动，以免错过维权时机。
可能的法律后果
- 如果用人单位被认定存在拖欠工资的行为，除了需要支付拖欠的工资外，还可能面临劳动监察部门的处罚，如罚款、责令改正等。
- 在劳动争议仲裁或诉讼中，如果用人单位败诉，还可能需要支付劳动者的律师费、仲裁费或诉讼费等额外费用。
综上所述，即使没有劳动合同，但只要有私人转账工资记录等证据证明劳动关系和工资支付情况，公司欠员工一个月工资时，员工仍然有很大机会通过法律途径维权成功。因此，建议劳动者在遭遇此类情况时积极收集证据并寻求法律援助或咨询专业律师。