当遇到房东没有签订合同而租客需要退租且房东不退房租的情况时，租客确实会面临一些挑战，但仍有多种途径可以维护自己的合法权益。以下是一些详细且具有深度的建议：
一、初步沟通与协商
尝试友好协商：
- 首先，建议租客与房东进行友好、诚恳的沟通，明确双方的实际租赁关系及退租事宜。
- 在沟通过程中，可以指出虽然没有书面合同，但双方已形成事实上的租赁关系，并据此要求房东合理退还房租。
- 保留沟通时的录音或聊天记录，作为后续可能的证据。
提供支付证明：
- 向房东展示支付房租的转账记录、支付宝或微信支付截图等，证明已向房东支付了房租。
二、寻求第三方调解
居委会或村委会调解：
- 如果直接协商无果，可以寻求当地居委会或村委会的帮助，他们通常具备丰富的调解经验，能够站在中立角度协调双方利益。
人民调解委员会或房地产中介协会：
- 这些机构也提供调解服务，可以帮助租客和房东达成和解协议。
三、法律途径维权
发送催款函：
- 在正式诉诸法律之前，可以考虑委托律师向房东发送催款函，明确指出其行为已侵犯租客的合法权益，并要求在一定期限内退还房租。
向当地住建局投诉：
- 租客可以向当地的住房和城乡建设局（住建局）投诉房东的不当行为。住建局作为房地产主管部门，有权对房屋租赁市场进行监管，并可以介入调解纠纷。
提起诉讼：
- 如果投诉未能解决问题，租客可以向房屋所在地的基层人民法院提起诉讼。
- 在诉讼过程中，需要向法院提交充分证据，如支付凭证、聊天记录、录音、入住证明（如水电费缴纳记录、物业缴费单据等）等，以支持自己的主张。
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，即使未签订书面合同，但实际上形成了租赁关系，房东无故不退还房租的行为仍构成违约，租客有权要求其承担违约责任。
申请仲裁（如适用）：
- 如果双方在租赁过程中曾约定仲裁条款，或者事后达成了仲裁协议，租客也可以向约定的仲裁机构申请仲裁。仲裁结果具有法律效力，双方应当履行。
四、注意事项
及时行动：
- 发现问题后应尽快采取行动，避免拖延导致证据丢失或诉讼时效过期。一般来说，诉讼时效为三年，自知道或应当知道自己的权利被侵害之日起计算。
合法维权：
- 在维权过程中要遵守法律法规，不得采取过激行为或侵犯他人权益。保持冷静和理性，有助于问题的解决。
咨询专业人士：
- 如有需要，可以咨询律师或其他法律专业人士的意见，以获得更专业的指导。他们可以帮助租客分析案情，提供法律建议，并协助准备相关证据。
综上所述，即使没有签订书面租房合同，租客仍然有多种途径可以维护自己的合法权益。在采取任何行动之前，请确保充分了解相关法律规定和程序要求，并妥善保留相关证据以便后续使用。