结论：能否在对方全责赔偿后跟自己保险公司拿到工伤鉴定赔偿，需分情况讨论，关键在于是否构成工伤以及是否购买了工伤保险或商业保险中的相关险种。

1. 若构成工伤且购买了工伤保险

   • 工伤保险赔偿与对方赔偿的关系：工伤保险赔偿与交通事故中对方的全责赔偿是两种不同性质的赔偿。工伤保险是基于劳动者与用人单位之间的劳动关系，由社会保险机构对劳动者因工作遭受事故伤害或患职业病进行的一种补偿，具有社会保障性质；而对方的全责赔偿是基于侵权法律关系，是侵权人对受害者因侵权行为造成的损失进行的赔偿。
   • 赔偿项目及处理原则：根据相关法律规定，因交通事故等第三人侵权造成工伤的，劳动者既可以向侵权人主张民事侵权赔偿，也可以享受工伤保险待遇，但医疗费等实际发生的费用一般不能重复获得赔偿。例如，劳动者先从侵权人处获得了医疗费赔偿，那么在申请工伤保险待遇时，就不能再重复主张医疗费。但对于其他项目，如伤残津贴、一次性伤残补助金等与侵权赔偿中的残疾赔偿金等项目，一般可以分别获得赔偿。
   • 申请流程：劳动者需要先进行工伤认定，由用人单位在事故伤害发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请；用人单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。认定为工伤后，再按照工伤保险的相关规定申请待遇。

2. 若购买了商业保险中的相关险种（如雇主责任险、团体意外险等）

   • 雇主责任险：雇主责任险的被保险人是用人单位，其保险标的是用人单位对劳动者依法应承担的赔偿责任。如果用人单位购买了雇主责任险，在劳动者发生工伤事故且对方全责的情况下，用人单位在向劳动者承担赔偿责任后，可以向保险公司申请理赔。但劳动者本人一般不能直接向保险公司主张赔偿，除非保险合同中有特别约定。
   • 团体意外险：团体意外险的被保险人是劳动者本人。如果劳动者购买了团体意外险，在发生意外事故（包括工伤事故）时，劳动者可以直接向保险公司申请理赔，获得相应的保险金。这种赔偿与对方的全责赔偿以及工伤保险赔偿（如果有）一般不冲突，可以同时获得。

3. 若不构成工伤

   • 如果劳动者所受伤害不符合工伤认定的条件，那么就不能享受工伤保险待遇。此时，劳动者只能依据交通事故中的侵权法律关系，向对方主张赔偿。如果劳动者购买了商业保险中的相关险种，如个人意外险等，可以按照保险合同的约定向保险公司申请理赔。