结论前置：在事业单位中，第三次签订聘用合同时，并非员工提出无固定期限就必须签订无固定期限合同，这取决于多种法定条件及劳动者与用人单位的协商结果。

一、法律规定与条件

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，特别是第十四条，以下情形中，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者主动提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：

1. 连续工作满十年：如果劳动者在事业单位连续工作满十年，无论之前签订的是何种类型的劳动合同，都应当签订无固定期限劳动合同。

2. 连续订立二次固定期限劳动合同后：在满足以下条件时，第三次应签订无固定期限劳动合同：

   • 劳动者与用人单位已连续订立二次固定期限劳动合同；
   • 劳动者没有严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等情形（对应《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形）；
   • 劳动者提出或者同意续订劳动合同，并且未主动提出订立固定期限劳动合同。

二、不得签订无固定期限劳动合同的情形

劳动者存在以下情形之一的，即使满足上述条件，用人单位也有权不签订无固定期限劳动合同：

• 在试用期间被证明不符合录用条件的；
• 严重违反用人单位规章制度的；
• 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
• 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
• 因特定情形致使劳动合同无效的；
• 被依法追究刑事责任的；
• 患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；
• 不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的。

三、实际操作中的注意事项

1. 连续性要求：在判断是否符合“连续订立二次固定期限劳动合同”的条件时，强调“连续”，期间不能有中断。

2. 劳动者意愿：劳动者的意愿至关重要。如果劳动者主动提出订立固定期限劳动合同，用人单位可以尊重其选择。

3. 协商一致：即使满足法定条件，用人单位与劳动者仍可通过协商一致的方式，选择订立固定期限劳动合同。

四、针对事业单位的特殊考虑

事业单位在聘用合同管理上可能受到特定法规或政策的影响，但基本原则仍应遵循《中华人民共和国劳动合同法》。因此，在事业单位中，第三次签订聘用合同时，是否签订无固定期限合同，同样需要综合考虑劳动者的工作年限、之前劳动合同的签订情况、劳动者的表现以及双方的协商结果。

建议：在实际操作中，事业单位和劳动者应严格遵守相关法律法规，确保聘用合同的合法性和有效性。如果双方就合同类型存在争议，建议通过协商、调解或仲裁等方式解决。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。