结论：针对您儿子书面答应分摊养老院费用却拒不支付的情况，您可以通过协商、调解或诉讼等途径来维护自己的合法权益。

详细分析：

1. 书面协议的法律效力：

   • 您儿子书面答应分摊养老院费用，这构成了一份具有法律效力的协议。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，依法成立的合同，对当事人具有法律约束力。当事人应当按照约定履行自己的义务，不得擅自变更或者解除合同。

2. 协商与调解：

   • 在采取法律手段之前，您可以首先尝试与儿子进行协商，了解他拒不支付的原因，并寻求双方都能接受的解决方案。
   • 如果协商无果，您可以考虑邀请第三方（如家庭成员、亲友或社区调解机构）进行调解，以促成双方达成和解。

3. 诉讼途径：

   • 如果协商和调解均无法解决问题，您可以考虑向法院提起诉讼，要求儿子履行书面协议，支付其应分摊的养老院费用。
   • 在诉讼过程中，您需要提供书面协议作为证据，以证明儿子有支付费用的义务。同时，您还需要提供其他相关证据（如养老院费用发票、支付记录等），以证明您已经支付了相关费用，且儿子未履行其分摊义务。

4. 可能的法律后果：

   • 如果法院认定书面协议有效，且儿子确实未履行其支付义务，法院可能会判决儿子支付其应分摊的养老院费用，并可能要求其承担一定的违约金或赔偿损失。
   • 如果儿子拒不执行法院判决，您还可以申请法院强制执行，通过法律手段强制其履行支付义务。

建议与行动：

• 保留证据：请务必保留好书面协议、养老院费用发票、支付记录等相关证据，以备在协商、调解或诉讼过程中使用。
• 寻求法律援助：如果您在处理此事过程中遇到法律难题或需要法律帮助，可以随时向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供专业的法律建议和帮助。
• 保持冷静与理性：在处理家庭纠纷时，请尽量保持冷静与理性，避免情绪化行为导致矛盾升级。通过合法途径解决问题，既维护了自己的权益，也维护了家庭关系的和谐。