结论：一审败诉后未上诉，申请再审时原则上不能直接增加新的诉讼请求，但存在例外情形。以下是具体分析：

1. 再审程序的核心定位是“纠错”而非“扩权”
   根据《民事诉讼法》第207条，再审程序是对已生效判决、裁定、调解书存在法定错误（如事实认定错误、法律适用错误、程序违法等）的救济途径。其立法目的在于纠正原审错误，而非为当事人提供新的诉讼机会。因此，再审申请范围通常限于原审诉讼请求，新增诉求可能因超出原审审理范围被驳回。

2. 例外情形：新增诉求与原审诉求存在“不可分性”
   若新增诉讼请求与原审诉求基于同一法律事实或法律关系，且必须合并审理才能查清案件事实、避免矛盾裁判，法院可能允许一并审查。例如：

   • 原审仅主张违约金，再审中主张本金及违约金（本金系违约金计算基础）；
     
   • 原审仅主张合同无效，再审中主张返还财产（返还系合同无效的必然后果）。
     关键点：需证明新增诉求与原审诉求具有逻辑上的“牵连性”，否则法院可能要求另行起诉。

3. 实务建议：分步骤处理更稳妥

   • 步骤一：在再审申请中明确主张原审判决存在错误（如遗漏诉讼请求、事实认定不清），并附相关证据；
     
   • 步骤二：若再审被驳回，可针对新增诉求另行提起诉讼（需注意诉讼时效问题）；
     
   • 步骤三：若新增诉求与原审诉求高度关联，可在再审中申请法院调解，通过调解书一次性解决纠纷（需对方同意）。

4. 风险提示：擅自增加诉求的后果
   若在再审申请中强行加入与原审无关的诉求，法院可能：

   • 不予审查新增诉求，仅对原审错误进行纠正；
     
   • 裁定驳回再审申请，要求另行起诉；
     
   • 极端情况下，可能因“滥用再审程序”对当事人进行训诫或罚款。

总结：再审程序不是“二次一审”，新增诉求需谨慎处理。建议先梳理原审判决的错误点，再评估新增诉求与原审的关联性，必要时分阶段主张权利。如有具体案件细节，可进一步沟通分析。