结论：员工因公受伤后，公司一般不可以随意辞退。但在某些特殊情形下，公司仍有权解除劳动合同。具体能否辞退需根据员工的受伤性质、医疗期情况以及公司的辞退理由来综合判断。
一、工伤员工的保护期与权益
治疗期间与停工留薪期：
- 在工伤员工的治疗期间和停工留薪期内，公司均不能随意辞退员工。停工留薪期一般不超过12个月，对于伤情严重或情况特殊的员工，经设区的市级劳动能力鉴定委员会确认后，可以适当延长，但延长期限不得超过12个月。
- 在此期间，员工的原工资福利待遇不变，由单位按月支付。
劳动合同继续履行权：
- 若公司在工伤期间违法辞退员工，根据《劳动合同法》第四十八条，员工有权要求公司继续履行劳动合同。
- 若员工不要求继续履行或劳动合同已无法继续履行，则公司需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。赔偿金的计算方式为：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
二、特殊情形下的辞退
尽管工伤员工享有上述保护，但在某些特殊情形下，公司仍有权解除劳动合同：
严重违反规章制度：
- 如果工伤员工存在严重违反用人单位规章制度的行为，且该行为符合《劳动合同法》第三十九条规定的过错情形（如旷工、故意破坏单位财物等），公司可依法解除劳动合同，无需支付经济补偿。
涉及犯罪行为：
- 若工伤员工在工伤期间涉及犯罪行为，被法院判处刑罚，公司同样有权依法解除劳动合同。
三、非工伤情形下的辞退规定（患病或非因工负伤）
医疗期内：
- 员工因患病或非因工负伤需要停止工作医疗时，根据工作年限享有相应的医疗期。在此期间，依据《劳动合同法》第四十二条，公司不得辞退员工。
医疗期满后：
- 医疗期满后，若员工不能从事原工作也不能从事单位另行安排的工作，依据《劳动合同法》第四十条，单位可以提前30日以书面形式通知或额外支付1个月工资后解除劳动合同，但需支付经济补偿。
四、建议与总结
- 对于员工：应了解自己的合法权益，特别是在工伤期间，公司不得随意辞退。若遭遇违法辞退，应勇敢维护自己的权益，可以要求公司继续履行劳动合同或获得经济补偿标准的二倍作为赔偿金。
- 对于公司：应建立健全的工伤处理机制和员工管理制度，确保在遵守法律法规的同时，也能有效维护公司的正常运营秩序和员工权益。在处理员工受伤期间的辞退问题时，必须严格遵守相关法律法规，避免违法辞退带来的法律风险和经济赔偿。
总之，员工因公受伤后，公司应谨慎处理辞退问题，确保员工的合法权益得到保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。