结论前置：公司未签劳动合同，员工伤病依然享有医疗期。医疗期的具体时长和权益保障不受是否签订劳动合同的影响，但未签劳动合同可能涉及其他法律权益的补偿问题。
一、医疗期的确定与权益保障
医疗期的定义与时长：
- 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治疗休息，而不得解除劳动合同的时限。根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，医疗期的时长根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，范围从三个月到二十四个月不等。
- 具体时长计算：
- 实际工作年限十年以下的，在本单位工作年限五年以下的为三个月；五年以上的为六个月。
- 实际工作年限十年以上的，在本单位工作年限五年以下的为六个月；五年以上十年以下的为九个月；十年以上十五年以下的为十二个月；十五年以上二十年以下的为十八个月；二十年以上的为二十四个月。
医疗期内的权益：
- 在医疗期内，用人单位不得随意解除劳动合同，且需按规定支付病假工资或疾病救济费。该费用可以低于当地最低工资标准，但不得低于最低工资标准的80%。
二、未签劳动合同的法律后果与补偿
双倍工资补偿：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与员工签订书面劳动合同的，应向员工每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于未订立无固定期限劳动合同的情况，但最长不超过十一个月。
- 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × (未签合同月数 - 1)（若未签合同月数超过11个月，则按11个月计算）
其他可能的补偿：
- 如果员工因伤病被违法解除劳动合同，除了医疗期内的权益外，还有权要求用人单位支付赔偿金，标准为经济补偿的二倍。经济补偿按员工在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。
三、工伤认定与医疗期的关系
工伤认定：
- 如果员工的伤病被认定为工伤，那么医疗期将作为工伤治疗的一部分，享受工伤保险的相关待遇。用人单位应在员工发生事故伤害或被诊断为职业病后30日内向社会保险行政部门提出工伤认定申请。若用人单位未按时申请，员工或其近亲属、工会组织可在一年内直接提出申请。
工伤赔偿：
- 确认为工伤后，员工有权获得医疗费、伤残津贴、一次性伤残补助金等赔偿。治疗期间费用、工资及福利由用人单位承担。治愈后可评估劳动力损伤程度并提出残疾赔偿请求。
四、建议与行动
保留证据：
- 员工应保留与用人单位存在事实劳动关系的证据，如工资支付凭证、社保缴纳记录、工作证等，以便在需要时证明自己的权益。
及时申请工伤认定：
- 如果伤病可能构成工伤，员工应及时向用人单位或社会保险行政部门提出工伤认定申请，以确保自己的权益得到保障。
咨询与维权：
- 如果员工在医疗期或工伤赔偿方面遇到问题，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。
总结：公司未签劳动合同并不影响员工享有医疗期的权益。员工应根据自己的实际情况，及时了解并维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。