交付执行后，暂予监外执行的决定权主要归属于省级以上监狱管理机关或者设区的市一级以上公安机关，具体取决于罪犯的关押场所和情况。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与决定机关
《中华人民共和国刑事诉讼法》相关规定：
- 根据《刑事诉讼法》第二百六十五条，对于被判处有期徒刑或者拘役的罪犯，在交付执行后，如果符合特定情形（如严重疾病需要保外就医、怀孕或正在哺乳自己婴儿的妇女、生活不能自理且不致危害社会的），可以暂予监外执行。
- 决定暂予监外执行的机关根据罪犯的关押场所不同而有所区别。对于在监狱执行刑罚的罪犯，由省级以上监狱管理机关批准；对于在看守所执行刑罚的罪犯，则由设区的市一级以上公安机关批准。
决定机关的具体职责：
- 省级以上监狱管理机关或设区的市一级以上公安机关在收到暂予监外执行的申请或建议后，会组织进行医学鉴定或生活不能自理鉴定，并根据鉴定结果和其他相关材料，作出是否批准暂予监外执行的决定。
二、暂予监外执行的程序与监督
程序要求：
- 暂予监外执行的决定过程需要严格遵循法定程序，包括医学鉴定、生活不能自理鉴定、审批等环节。
- 决定机关在作出决定前，应当充分听取罪犯、监狱或看守所、检察机关等各方面的意见，确保决定的公正性和合理性。
监督机制：
- 检察机关对暂予监外执行的决定过程进行法律监督，确保决定机关依法行使职权，防止滥用职权或徇私舞弊。
- 如果发现决定机关在暂予监外执行过程中存在违法行为，检察机关有权提出纠正意见或检察建议，甚至依法追究相关人员的法律责任。
三、特殊情况下的处理
罪犯病情危急或生活不能自理：
- 在某些特殊情况下，如罪犯病情危急需要立即保外就医或生活不能自理且不致危害社会，决定机关可以紧急批准暂予监外执行，并在事后及时补办相关手续。
暂予监外执行的撤销：
- 如果罪犯在暂予监外执行期间不符合继续监外执行的条件，如病情好转、生活能够自理或重新具有社会危险性等，决定机关应当及时撤销暂予监外执行，并将罪犯收监执行剩余刑期。
四、实际案例与操作建议
- 实际案例：在实际操作中，曾有罪犯因严重疾病需要保外就医而申请暂予监外执行。经过医学鉴定和审批程序后，省级监狱管理机关批准了其暂予监外执行的申请。在监外执行期间，罪犯得到了及时的治疗和照顾，病情得到了有效控制。
- 操作建议：对于需要申请暂予监外执行的罪犯及其家属，建议提前了解相关法律法规和程序要求，积极配合监狱或看守所的工作，提供必要的医学证明和生活不能自理证明等材料，以便顺利申请到暂予监外执行。
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