结论：您可以考虑通过法律途径解决邻居违建养鸽子的问题，具体可以通过起诉邻居侵犯相邻权或提起行政诉讼要求相关部门履行职责这两种方式来进行。

分析如下：

1. 起诉邻居侵犯相邻权

   • 法律背景：根据《民法典》的相关规定，不动产的相邻权利人应当按照有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则，正确处理相邻关系。如果邻居的违建行为（如搭建鸽舍）影响了您的正常生活，比如产生了噪音、异味等，那么邻居的行为可能构成了对相邻权的侵犯。
   • 法律建议：您可以收集相关证据，如照片、视频、证人证言等，证明邻居的违建行为对您造成了实际影响。然后，您可以向法院提起民事诉讼，要求邻居停止侵害、排除妨碍或赔偿损失。

2. 提起行政诉讼要求相关部门履行职责

   • 法律背景：虽然您提到城管和社区都管不了，但这并不意味着相关部门没有职责或无法采取措施。根据相关法律法规，城市管理执法部门对违法建设行为有查处职责。如果相关部门未依法履行职责，您可以考虑提起行政诉讼。
   • 法律建议：在提起行政诉讼前，您可以先向相关部门（如城管部门）提交书面申请，要求其履行查处违法建设的职责。如果相关部门在法定期限内未作出答复或未采取有效措施，您可以向法院提起行政诉讼，要求法院判决相关部门履行职责。

可能面临的挑战与应对：

• 证据收集：在起诉过程中，证据的收集至关重要。您需要确保收集到的证据能够充分证明邻居的违建行为对您造成了实际影响。如果证据不足，可能会影响案件的胜诉率。
• 法律程序：法律程序可能相对复杂，需要一定的时间和精力。您需要做好充分的准备，包括了解法律程序、准备相关材料等。
• 邻里关系：起诉邻居可能会对邻里关系产生一定影响。在采取法律行动前，您可以考虑与邻居进行沟通协商，看是否能够达成和解。如果无法和解，再考虑通过法律途径解决。

后续行动建议：

• 在决定采取法律行动前，建议您先咨询专业律师（即我，萧燕萍律师，专注于婚姻家庭、经济纠纷、合同纠纷、遗产继承、房产纠纷等多个领域），对案件进行全面评估。
• 根据律师的建议，收集相关证据，准备相关材料。
• 如果决定起诉，按照法律程序向法院提交起诉状及相关证据材料。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。