结论：在劳动仲裁裁决书下来后，若大部分诉求得到了支持，是否在15天内主动起诉（即向法院提起诉讼）还是等待对方行动，需根据具体情况来决定。以下是从不同角度给出的分析和建议。
分析角度一：对方是否可能起诉
若对方可能起诉：
- 如果您认为对方对裁决结果不满意，有可能会在15天内向法院提起诉讼，那么您可以考虑主动准备应诉材料，或者如果您也对裁决中的某些部分不满意，也可以同时准备起诉材料，以维护自己的合法权益。
- 主动起诉（或准备应诉）可以确保您在法律程序中占据主动地位，及时表达自己的诉求和观点。
若对方不太可能起诉：
- 如果您认为对方对裁决结果基本接受，不太可能会在15天内起诉，那么您可以选择等待观察，看对方是否会主动履行裁决义务。
- 等待期间，您可以保持与对方的沟通，了解对方的履行意愿和进度，以便在必要时采取进一步措施。
分析角度二：您对裁决结果的满意度
若您对裁决结果满意：
- 如果您对裁决结果基本满意，且认为对方不太可能会起诉，那么您可以选择等待对方履行裁决义务。
- 如果对方在规定期限内未履行义务，您可以向法院申请强制执行。
若您对裁决结果不完全满意：
- 如果您对裁决中的某些部分不满意，认为自己的权益未得到充分保障，那么您可以在15天内向法院提起诉讼，要求变更或撤销原裁决中的相关部分。
- 提起诉讼时，您需要准备充分的证据和理由，以支持自己的诉求。
分析角度三：法律程序和时效性
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动仲裁裁决作出后，当事人对裁决不服的，可以自收到裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。
- 因此，如果您决定起诉，必须在15日内完成相关手续，否则将丧失起诉权。
- 等待期间，您也需要密切关注时效问题，确保在必要时能够及时采取行动。
建议：
- 评估对方起诉的可能性：根据您对对方的了解和裁决结果的具体情况，评估对方是否可能起诉，并据此决定是否主动准备应诉或起诉材料。
- 审视自己对裁决结果的满意度：如果您对裁决结果不完全满意，且认为有必要通过诉讼来进一步维护自己的权益，那么可以在15日内向法院提起诉讼。
- 保持与对方的沟通：无论您选择等待还是起诉，都建议保持与对方的沟通，了解对方的履行意愿和进度，以便在必要时采取进一步措施。
- 咨询专业律师（即我）：如果您在决策过程中遇到任何疑问或困惑，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况给出专业的法律建议。
总之，在劳动仲裁裁决书下来后，是否在15天内主动起诉还是等待对方行动，需根据具体情况来决定。希望以上分析和建议能对您有所帮助。