结论：虽然对方家长愿意赔偿，但建议撰写书面赔偿协议，以保障双方权益、明确责任划分、固定证据并预防潜在纠纷。以下是详细分析：
书面协议的必要性
即使对方家长口头同意赔偿，书面协议仍具有关键作用：
- 明确赔偿范围：需详细列明医疗费、护理费、营养费、交通费等具体项目及金额，避免后续因“赔偿不全”产生争议。
- 固定责任主体：协议中需明确对方家长作为监护人的赔偿责任（依据《民法典》第1188条，无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任），防止对方事后推诿。
- 约定履行方式：需写明赔偿款的支付时间（如一次性支付或分期支付）、支付方式（银行转账需留存凭证）及违约责任（如逾期支付需支付违约金）。
协议内容的核心条款
一份完整的赔偿协议应包含以下要素：
- 双方信息：赔偿方（对方家长）与被赔偿方（您及孩子）的姓名、身份证号、联系方式；
- 事件经过：简要描述孩子被推伤的时间、地点、经过（无需过度细节，但需明确对方孩子的过错）；
- 赔偿项目及金额：分项列明医疗费、误工费（如您因照顾孩子产生收入损失）等，并注明计算依据（如医院发票、工资流水）；
- 支付条款：明确支付时间、方式及账户信息；
- 免责条款：约定赔偿后，您不再就本次事件向对方主张其他权利；
- 争议解决：如发生纠纷，约定通过诉讼或仲裁解决，并明确管辖法院或仲裁机构。
协议签署的注意事项
- 双方签字确认：协议需由对方家长（监护人）及您本人签字，并按手印（增加法律效力）；
- 见证人或公证：如条件允许，可邀请第三方见证（如居委会工作人员）或对协议进行公证，增强证据效力；
- 保留原件：签署后，您需妥善保管协议原件，并复印一份交对方留存。
特殊情况处理
- 对方拒签协议：若对方拒绝签署书面协议，您可要求其通过银行转账支付赔偿款（备注“孩子赔偿款”），并保留聊天记录、录音等证据，证明对方承认赔偿责任；
- 赔偿金额争议：如双方对赔偿金额无法达成一致，可委托第三方机构（如司法鉴定中心）评估损失，或通过诉讼由法院裁定。
建议行动：您可先与对方家长沟通，提出签署书面协议的需求。若对方配合，可参考上述条款起草协议；若对方拒绝，需加强证据收集（如医疗记录、监控录像、证人证言），并咨询我进一步处理方案。如有具体条款需要协助拟定，可直接向我提问。