结论：被打后派出所没有及时给伤害方伤情鉴定，这一行为是否违法，需结合具体情况来判断，不能一概而论。
分析说明：
伤情鉴定的启动程序：
- 在一般情况下，伤情鉴定并非由派出所直接启动，而是需要由受伤方或相关当事人向公安机关提出申请。公安机关在接到申请后，会根据案件情况决定是否进行伤情鉴定。
- 如果受伤方没有主动提出伤情鉴定申请，或者申请后公安机关认为不需要进行鉴定（例如，伤情明显轻微，无需鉴定即可判断），那么派出所没有及时进行伤情鉴定并不构成违法。
派出所的职责与义务：
- 派出所在接到报案后，有义务对案件进行调查，并根据调查情况采取相应的措施。如果案件涉及人身伤害，且伤情可能构成轻伤或重伤，那么派出所应当建议或协助受伤方进行伤情鉴定。
- 如果派出所未履行上述职责，导致受伤方未能及时进行伤情鉴定，且这一延误对案件的处理产生了不利影响（例如，影响了伤情的准确判断或案件的公正处理），那么派出所的行为可能构成违法或不当履职。
伤情鉴定的时间要求：
- 法律并未明确规定伤情鉴定的具体时间限制，但要求公安机关在合理的时间内完成调查和处理工作。如果派出所因故意拖延或无正当理由未及时进行伤情鉴定，可能违反了相关法律法规中关于及时、公正处理案件的原则。
法律建议：
- 如果认为派出所未及时履行职责：受伤方可以向上一级公安机关或相关部门进行投诉或申诉，要求其对派出所的行为进行监督和纠正。
- 如果伤情鉴定对案件处理至关重要：受伤方可以自行委托有资质的鉴定机构进行伤情鉴定，并将鉴定结果作为证据提交给公安机关或法院。
- 在处理此类问题时：建议受伤方保留好相关证据（如报案记录、医疗记录等），以便在需要时证明自己的权益和主张。
后续行动指导：
- 如果您或您认识的人遇到了类似情况，且认为派出所的行为可能违法或不当，建议直接向我咨询，我会根据具体情况为您提供更详细的法律建议和帮助。
- 在处理此类法律问题时，请务必保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。