卖车双方私下签订的协议，在符合法律规定的情况下，是有效且合法的。以下从不同角度为你详细分析：
协议有效的法律基础
合同自由原则：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，民事主体有权依照自己的意愿设立、变更、终止民事法律关系。这意味着，只要双方自愿、平等地达成协议，且协议内容不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗，该协议就是有效的。
车辆买卖合同的成立要件：车辆买卖合同属于民事合同的一种，其成立要件包括双方当事人具有相应的民事行为能力、意思表示真实、合同内容合法且不违背公序良俗。只要满足这些要件，即使双方是私下签订的协议，也是有效的。
协议合法性的考量因素
车辆来源的合法性：确保所售车辆来源合法，非盗抢、走私或非法拼装车辆。如果车辆来源不合法，即使双方签订了协议，该协议也可能因违反法律强制性规定而被认定为无效。
车辆手续的完备性：卖方应提供车辆的所有权证明、行驶证、购置税证明等相关手续。这些手续是车辆合法性的重要证明，也是买卖合同有效性的重要保障。
协议内容的合法性：协议内容应明确双方的权利和义务，包括车辆的价格、交付方式、付款方式、违约责任等。协议内容应合法、合理，不得包含欺诈、胁迫等非法条款。
私下签订协议的风险与防范
风险：
防范措施：
特殊情况下的协议效力
如果车辆存在抵押或查封等情况：在这种情况下，即使双方签订了买卖协议，也可能因车辆无法过户或存在其他权利限制而导致协议无法履行或产生纠纷。因此，在签订协议前，应了解车辆的真实状况，确保车辆不存在抵押、查封等权利限制。
如果一方存在欺诈或胁迫行为：如果一方在签订协议过程中存在欺诈或胁迫行为，导致另一方在违背真实意思的情况下签订了协议，那么该协议可能因存在欺诈或胁迫情形而被撤销或认定为无效。
总结与建议：卖车双方私下签订的协议，在符合法律规定的情况下，是有效且合法的。但为了更好地保障双方的权益和避免潜在的风险，建议签订书面协议、保留相关证据，并在必要时考虑公证或见证。如果遇到任何法律问题或纠纷，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律建议和帮助。