结论前置：二婚父母一方把个人名下存款给孩子是合法的，但这一行为需满足特定的法律条件，并且根据存款的性质（个人财产或夫妻共同财产）不同，操作上会有所区别。
一、法律依据与合法性确认
财产所有权与处分权：
- 根据《中华人民共和国民法典》第二百四十条，所有权人对自己的不动产或动产享有占有、使用、收益和处分的权利。存款属于动产范畴，因此，父母作为存款的所有权人，无论其是否二婚，都有权将其赠与给子女。
赠与行为的合法性：
- 依据《中华人民共和国民法典》第六百五十七条，赠与合同是赠与人将自己的财产无偿给予受赠人，且受赠人表示接受赠与的合同。只要该赠与行为真实、自愿，不违反法律法规，不违背公序良俗，即为合法有效。这表明，二婚父母一方有权利通过赠与方式将个人名下的存款给予子女。
二、不同情况下的操作要点
存款为个人财产时：
- 如果存款是二婚父母一方在婚前取得的，或者婚后明确约定为个人财产的，那么该方有权单独决定赠与给子女，无需征得另一方的同意。
- 在这种情况下，赠与行为只需满足一般赠与的条件，即赠与人具有完全民事行为能力、受赠人（子女）也需具备完全民事行为能力、赠与行为基于双方自愿、无任何胁迫或欺诈，且财产来源合法。
存款为夫妻共同财产时：
- 如果存款是二婚父母在婚后取得的，且未明确约定为个人财产的，那么该存款属于夫妻共同财产。
- 在这种情况下，赠与行为需要征得另一方的同意，否则可能构成对另一方财产权的侵害，影响赠与的效力。
- 为了避免纠纷，建议双方签订书面赠与协议，明确赠与的财产范围、赠与条件、赠与方式等，并妥善保存相关凭证。
三、实践操作中的注意事项
形式要求：
- 赠与可以是口头或书面形式。对于金额较小、关系明确的赠与，可采用口头约定；但对于金额较大或为避免纠纷，建议签订书面赠与协议。
交付方式：
- 存款赠与需完成实际交付，如银行转账、现金交付等。建议保留交付凭证，以证明赠与行为的完成。
证据保存：
- 为避免日后纠纷，建议双方妥善保存赠与协议及相关凭证，如银行转账记录、收据等。
四、法律后果与风险提示
- 如果赠与行为违反了法律法规或公序良俗，如涉及洗钱、逃税等违法行为，那么该赠与行为将被认定为无效，并可能面临法律制裁。
- 如果赠与行为未经另一方同意而擅自处分了夫妻共同财产，那么另一方有权要求撤销赠与或要求赔偿损失。
综合分析与法律指导：二婚父母一方把个人名下存款给孩子在法律上是合法的，但前提是必须满足上述所有条件。在实际操作中，建议父母与子女在赠与前进行充分沟通，确保双方意愿一致，并考虑是否需要签订书面协议以保障各自权益。同时，若存款涉及夫妻共同财产，务必征得配偶同意，以免引发不必要的法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律指导，请直接向我咨询。