结论：当你在小卖部买到过期食品并已经食用一半后才发现，你仍然有权要求赔偿。以下是具体的处理方式和法律依据：
一、处理方式
保留证据：
- 立即停止食用该过期食品，并妥善保存剩余的食品以及购物小票或发票，这是证明购买行为和食品过期事实的关键证据。
- 如果可能，拍摄食品包装上的生产日期、保质期以及食品现状的照片或视频，作为辅助证据。
与商家协商：
- 首先尝试与商家沟通，说明情况并要求退货退款及相应赔偿。你可以明确告知商家，根据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定，他们销售过期食品是违法的，你有权要求赔偿。
投诉举报：
- 若商家拒绝赔偿或协商无果，你可以向当地市场监督管理局（原食品药品监督管理局）或消费者协会进行投诉举报。这些机构将依法对商家进行调查处理，并保护你的合法权益。
法律途径：
- 在必要时，你可以通过法律途径解决纠纷，如向法院提起诉讼。诉讼过程中，你需要提供充分的证据证明购买行为、食品过期事实以及因此遭受的损失。
二、赔偿标准
根据《中华人民共和国食品安全法》第一百四十八条的规定，生产不符合食品安全标准的食品或者经营明知是不符合食品安全标准的食品，消费者除要求赔偿损失外，还可以向生产者或者经营者要求支付价款十倍或者损失三倍的赔偿金；增加赔偿的金额不足一千元的，为一千元。具体来说：
- 价款十倍赔偿：如果你购买的过期食品价款较低，按照价款十倍计算赔偿金额可能不足一千元，那么你可以要求商家支付一千元的赔偿金。
- 损失三倍赔偿：如果你因食用过期食品而遭受了实际损失（如医疗费用等），你可以要求商家按照损失的三倍进行赔偿。如果损失的三倍计算出来不足一千元，同样可以要求商家支付一千元的赔偿金。
三、特殊情况说明
- “知假买假”情况：如果你明知食品过期仍然购买，并意图通过诉讼获取赔偿，这种行为可能不被视为正常的消费行为。然而，在你已经食用一半才发现食品过期的情况下，这通常不被视为“知假买假”行为，你仍然有权要求赔偿。
- 多次购买情况：如果你在短时间内多次购买同一商家的过期食品，并多次主张赔偿，法院在审理时可能会考虑你的购买行为是否超出合理生活消费需要。但在此案例中，你仅购买并食用了一半的过期食品，通常不会涉及此问题。
四、建议与提醒
- 及时行动：一旦发现购买到过期食品，应尽快采取上述措施，以免证据灭失或商家转移财产。
- 理性维权：在与商家协商或投诉举报时，保持冷静和理性，依法维护自己的权益。
- 关注健康：如果因食用过期食品而出现身体不适，应及时就医并保留好相关医疗证据。
最后，如果你在处理此类纠纷过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和指导。