在诉讼过程中，追加第三人并非仅是被告或原告单方的权利，而是根据案件具体情况和法律规定，双方均有可能享有的权利。以下是对这一问题的详细分析：
一、追加第三人的法律依据
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，对当事人双方的诉讼标的，第三人认为有独立请求权的，有权提起诉讼。对当事人双方的诉讼标的，第三人虽然没有独立请求权，但案件处理结果同他有法律上的利害关系的，可以申请参加诉讼，或者由人民法院通知他参加诉讼。这表明，无论是原告还是被告，在符合法律规定的情况下，均可以申请追加第三人。
二、追加第三人的具体情况
原告申请追加第三人：
- 在某些情况下，原告可能发现案件的处理结果与某个第三方有法律上的利害关系，为了更全面地解决纠纷，原告可以向法院申请追加该第三方为第三人。
- 例如，在合同纠纷中，如果原告认为合同外的第三方与合同履行有直接关系，且该第三方的行为可能影响合同纠纷的处理结果，原告可以申请追加该第三方为第三人。
被告申请追加第三人：
- 被告同样可以在符合法律规定的情况下申请追加第三人。这通常发生在被告认为案件的处理结果与某个第三方有法律上的利害关系，且该第三方的参与有助于更公正地解决纠纷时。
- 例如，在侵权纠纷中，如果被告认为侵权行为是由第三方和被告共同造成的，或者第三方对侵权行为的发生有过错，被告可以申请追加该第三方为第三人，以便在诉讼中明确各方的责任。
法院依职权追加第三人：
- 除了原告和被告申请追加第三人外，法院在审理案件过程中，如果发现案件的处理结果与某个第三方有法律上的利害关系，且该第三方的参与有助于查明案件事实、明确各方责任，法院可以依职权追加该第三方为第三人。
三、追加第三人的法律后果
- 追加第三人后，该第三方将成为诉讼的一方当事人，享有相应的诉讼权利并承担相应的诉讼义务。
- 第三人的参与可能改变诉讼的结构和走向，影响案件的处理结果。因此，在申请追加第三人时，应充分考虑其必要性和合理性。
四、实际操作建议
- 在诉讼过程中，如果认为需要追加第三人，应及时向法院提出申请，并说明追加的理由和必要性。
- 法院在审查申请时，会综合考虑案件的具体情况、第三人的法律地位以及诉讼的公正性和效率等因素，作出是否追加的决定。
总结来说，追加第三人并非仅是被告或原告单方的权利，而是根据案件具体情况和法律规定，双方均有可能享有的权利。在实际操作中，应根据案件的具体情况和需要，合理运用这一权利，以更全面地解决纠纷、维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。