若已生效的判决书发现当事人私刻公章，这通常意味着判决所依据的部分或全部事实可能存在虚假，进而影响判决的公正性和合法性。针对此情况，可以从以下几个角度进行分析和处理：

1. 法律后果与程序救济：

   • 再审程序：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，如果发现判决存在错误，特别是因当事人伪造证据（如私刻公章）导致的错误，利害关系人可以向人民法院申请再审。再审程序是纠正错误判决的重要途径，通过再审，法院可以重新审查案件事实，撤销或变更原判决。
   • 刑事责任：私刻公章属于违法行为，可能构成伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪。根据《中华人民共和国刑法》第二百八十条第二款的规定，伪造公司、企业、事业单位、人民团体的印章的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利，并处罚金。因此，当事人私刻公章的行为还可能面临刑事责任的追究。

2. 证据收集与提交：

   • 收集证据：为了启动再审程序或追究当事人的刑事责任，需要收集充分的证据证明当事人私刻公章的事实。这可能包括公章的鉴定报告、相关交易记录、证人证言等。
   • 提交证据：在收集到足够证据后，应及时向法院提交，并说明这些证据如何证明原判决存在错误或当事人存在违法行为。

3. 实际操作建议：

   • 立即咨询律师：发现此类问题后，应立即咨询专业律师，以便及时了解法律程序和可能的法律后果，并制定合适的应对策略。
   • 保持证据完整：在收集证据过程中，应确保证据的完整性和真实性，避免证据被篡改或毁损。
   • 关注案件进展：在申请再审或追究刑事责任的过程中，应密切关注案件进展，及时与法院或相关机关沟通，确保案件得到公正处理。

举例说明： 假设在一个合同纠纷案件中，原告使用私刻的被告公司公章签订了虚假合同，并据此获得了胜诉判决。后来，被告发现原告私刻公章的事实，并收集到了相关证据。此时，被告可以向法院申请再审，要求撤销原判决，并同时向公安机关报案，追究原告的刑事责任。

进一步思考： 在处理此类问题时，除了关注法律程序和证据收集外，还应考虑如何预防类似事件的发生。例如，企业可以加强公章管理，建立严格的公章使用审批和登记制度；在签订合同时，可以要求对方提供公章的鉴定报告或相关证明文件等。

总之，若已生效的判决书发现当事人私刻公章，应及时采取法律措施进行救济，并追究相关当事人的法律责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。