结论：以迟到为由被辞退，辞退通知本身通常不会直接被下家公司看到，但相关记录可能通过特定途径影响下家公司的背景调查结果。以下从不同角度详细分析：
一、辞退通知的直接可见性
辞退通知的性质：辞退通知是原公司向员工发出的解除劳动合同的正式文件，它主要存在于员工与原公司之间，作为双方劳动关系解除的证明。这份通知本身并不具有公开性，也不会自动传递给其他公司或机构。
信息传递的限制：除非员工主动提供或原公司在某些特定情况下（如背景调查时）被授权提供，否则辞退通知的内容通常不会被第三方知晓。因此，从直接可见性的角度来看，下家公司通常不会看到这份辞退通知。
二、可能影响下家公司背景调查的因素
员工主动提供：如果员工在求职过程中主动向下家公司提及自己曾被辞退的情况，并提供了辞退通知作为证明，那么下家公司自然会了解到这一信息。但这种情况属于员工主动披露，与辞退通知的直接可见性无关。
背景调查中的信息获取：下家公司在进行背景调查时，可能会通过多种途径了解员工的过往工作经历，包括与原公司的联系。如果原公司在背景调查中提供了员工被辞退的信息（这通常需要员工的授权或同意），那么下家公司就会了解到这一情况。但这种情况并非辞退通知的直接传递，而是背景调查过程中的信息获取。
行业内的信息传播：在某些特定行业或领域，员工被辞退的信息可能会通过行业内的口碑、社交媒体等途径传播开来。虽然这种情况相对较少见，但也不能完全排除其可能性。如果员工在行业内有一定的知名度或影响力，且被辞退的原因较为敏感或引人关注，那么相关信息可能会在一定程度上传播开来。
三、法律建议与注意事项
保护个人隐私：员工有权保护自己的个人隐私，包括不被未经授权的第三方获取自己的辞退通知等敏感信息。如果下家公司在未经员工同意的情况下获取了这些信息，员工可以依法维护自己的权益。
诚信求职：虽然辞退通知本身不会直接被下家公司看到，但员工在求职过程中应保持诚信，如实填写工作经历和离职原因。如果故意隐瞒或歪曲事实，一旦被发现，可能会对员工的职业声誉和未来发展造成不利影响。
了解背景调查流程：在求职前，员工可以了解下家公司的背景调查流程和要求，以便更好地准备和应对。如果担心自己的辞退记录会影响求职结果，可以提前与下家公司沟通并解释情况，争取获得对方的理解和信任。
最后，如果你在劳动纠纷方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据你的具体情况提供专业的法律意见和解决方案。