结论：关于育儿假到期未休公司是否有义务提醒员工休掉的问题，法律并未明确规定公司有此义务，但公司从人文关怀和员工关系管理的角度出发，建议进行提醒。以下从不同角度进行详细分析：
法律角度
法律未明确规定提醒义务：
- 目前，我国的相关法律法规，如《劳动法》、《劳动合同法》以及关于育儿假的具体规定中，并未明确提及公司有义务提醒员工休育儿假。育儿假的享受和安排主要依据公司的规章制度以及员工与公司的协商来确定。
公司规章制度的重要性：
- 虽然法律没有明确规定，但公司可以在其规章制度中明确育儿假的申请、审批和安排流程，包括是否提醒员工休假的条款。如果公司规章制度中有相关规定，那么公司应当遵循这些规定来执行。
实践角度
公司人文关怀的体现：
- 从人文关怀的角度出发，公司提醒员工休育儿假可以体现公司对员工的关心和照顾，有助于增强员工的归属感和忠诚度。
员工关系管理的需要：
- 提醒员工休育儿假也是公司员工关系管理的一部分。通过积极的沟通和管理，可以避免因员工未休育儿假而产生的潜在纠纷和不满情绪。
避免法律风险：
- 虽然法律没有明确规定提醒义务，但如果公司因未提醒而导致员工错过育儿假，且员工因此遭受损失（如无法享受应有的福利待遇），员工可能会以此为由向公司提出索赔或投诉。因此，从风险规避的角度出发，公司也可以考虑进行提醒。
建议措施
完善公司规章制度：
- 公司可以在其规章制度中明确育儿假的申请、审批和安排流程，包括提醒员工休假的条款。这样既可以规范公司的管理行为，也可以保障员工的合法权益。
加强员工沟通：
- 公司可以通过内部通知、邮件、短信等方式提醒员工休育儿假，并告知员工相关的申请流程和注意事项。同时，也可以鼓励员工主动与公司沟通，了解育儿假的具体情况。
建立反馈机制：
- 公司可以建立员工反馈机制，及时了解员工对育儿假的意见和建议。这样可以帮助公司不断改进和完善育儿假的管理制度，提高员工的满意度和忠诚度。
总结与启示：虽然法律并未明确规定公司有义务提醒员工休育儿假，但公司从人文关怀、员工关系管理和风险规避的角度出发，建议进行提醒。同时，公司也可以通过完善规章制度、加强员工沟通和建立反馈机制等措施来规范育儿假的管理行为，保障员工的合法权益。如果您在育儿假或其他劳动工伤方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。