结论：公司不能直接辞退合同已到期超过三天的员工，而应依据具体情况，按照法律规定处理劳动关系，否则可能面临违法解除劳动合同的法律风险。以下从不同情况进行分析：
一、合同到期后双方未续签，但员工继续工作
法律背景：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，劳动者继续在用人单位工作的，用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。此时，双方形成的是事实劳动关系。
法律建议：
- 公司应尽快与员工协商续签劳动合同，明确双方的权利和义务。
- 若公司不想继续雇佣该员工，应提前与员工沟通，并按照法律规定支付经济补偿金（如有需要），然后依法解除劳动合同。
可能的法律后果：
- 如果公司未经协商直接辞退员工，可能构成违法解除劳动合同，需要支付赔偿金（通常是经济补偿金的两倍）。
二、合同到期后公司明确表示不续签
法律背景：
- 劳动合同期满，用人单位不续签的，应当向劳动者支付经济补偿金。经济补偿金的计算依据是劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
法律建议：
- 公司应提前与员工沟通，明确表示不续签劳动合同的意愿。
- 按照法律规定计算并支付经济补偿金。
- 办理离职手续，包括工作交接、社保转移等。
可能的法律后果：
- 如果公司未按照法律规定支付经济补偿金或未办理离职手续，员工有权向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司支付经济补偿金及可能的其他赔偿。
三、合同到期后员工提出不续签
法律背景：
- 劳动合同期满，劳动者提出不续签的，用人单位无需支付经济补偿金。
法律建议：
- 公司应与员工确认其不续签的意愿，并办理离职手续。
- 确保员工完成工作交接，避免给公司造成损失。
可能的法律后果：
- 在此情况下，公司通常无需承担法律责任，但应确保离职手续的合法性和完整性。
额外提醒：
- 在处理劳动合同到期及续签、解除等问题时，公司应始终遵循合法、公平、诚实信用的原则。
- 避免使用模糊或误导性的语言与员工沟通，确保双方对劳动合同的状态及后续处理有清晰的认识。
- 如有必要，公司可以寻求专业法律意见，以确保处理方式的合法性和合规性。
行动建议：公司应尽快与员工沟通，明确双方对劳动合同续签或解除的意愿，并按照法律规定处理后续事宜。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。