当雇员的三年劳动合同到期时，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位和劳动者需要按照以下方式来处理后续事宜：

一、合同到期的处理方式

1. 续订劳动合同

   • 协商一致：劳动合同期满后，如果双方都有意愿继续合作，可以坐下来协商一致，然后重新签订一份新的劳动合同。这份新合同的期限、工作内容、工资待遇等条款，都可以由双方根据实际情况重新约定。

   • 无固定期限劳动合同：根据《劳动合同法》第十四条的规定，如果劳动者在用人单位已经连续工作满了一定的年限（比如十年），或者已经连续订立了两次固定期限劳动合同且没有出现法定解除或终止的情形，那么当劳动者提出或者同意续订劳动合同的时候，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同。对于三年合同到期的情况，如果此前已经签订过一次固定期限合同（比如首次签订就是三年），并且劳动者满足其他条件（比如没有严重违反用人单位的规章制度等），那么劳动者是有权要求签订无固定期限劳动合同的。

2. 终止劳动合同

   • 自然终止：如果双方没有就续订劳动合同达成一致，或者劳动者选择不再续签，那么原劳动合同就会在期满之日起自动终止。

   • 支付经济补偿金：根据《劳动合同法》第四十六条的规定，除非用人单位维持或者提高了劳动合同约定的条件来续订劳动合同，但劳动者不同意续订的情况外，用人单位都应当向劳动者支付经济补偿金。经济补偿金的计算标准是按照劳动者在本单位工作的年限来计算的，每满一年就支付一个月的工资；如果工作了六个月以上但不满一年，就按一年来计算；如果工作不满六个月，就向劳动者支付半个月的工资作为经济补偿。

二、注意事项

1. 提前通知：虽然法律并没有明确规定用人单位必须提前多久通知劳动者是否续订劳动合同，但为了避免不必要的纠纷和误解，建议用人单位在合同到期前就与劳动者进行沟通，明确双方的意向和打算。

2. 办理离职手续：如果劳动合同终止了，用人单位应当在规定的时间内为劳动者办理离职手续，这包括出具离职证明、转移社保关系等，以确保劳动者的权益得到保障。

3. 保留证据：在处理劳动合同到期的问题时，双方都应当保留好相关的证据，比如劳动合同文本、工资支付记录、沟通记录等。这些证据在将来可能会起到关键的作用，以备不时之需。

综上所述，当雇员的三年劳动合同到期时，双方可以根据实际情况选择续订劳动合同或者终止劳动合同，并按照法律规定处理好后续事宜。