当您面临劳动合同遗失且公司不配合补办的困境时，确实需要采取一系列措施来维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的应对步骤和建议：

一、优先尝试协商解决

1. 主动沟通：首先，建议您以平和的态度与公司负责人或人力资源部门进行沟通。明确表达劳动合同对您的重要性，以及补办合同对双方都有益处，比如有助于保障您的劳动权益，同时也有助于公司规范劳动管理。

2. 提出具体方案：在沟通中，可以询问公司不配合补办的具体原因，并尝试提出一些可行的解决方案。例如，您可以表示愿意协助准备相关材料，以加快补办流程。

二、积极收集其他证据

如果协商无果，您需要着手收集其他能够证明劳动关系存在的证据。这些证据在后续的法律程序中可能至关重要：

1. 工资支付凭证：如银行工资流水明细，显示公司的转账记录，这是证明您与公司存在劳动关系的有力证据。

2. 工作证件：包括工作证、服务证等印有公司名称和个人信息的证件，这些也能证明您的劳动关系。

3. 考勤记录：通过拍照、截图等方式保存电子考勤系统的记录，或者收集纸质考勤表等，以证明您的工作时间和出勤情况。

4. 同事证言：寻求在职或离职同事的作证，他们可以描述您的工作情况和时间，进一步证明您的劳动关系。

5. 业务往来文件：如合同、协议、业务报表、电子邮件等，这些文件体现了您的工作内容和与公司的关联。

三、向劳动监察部门投诉

1. 准备投诉材料：携带您的身份证明和初步收集的证据（如上述提到的工资支付凭证、工作证件等）向当地劳动监察部门投诉。

2. 详细说明情况：在投诉时，详细阐述劳动合同丢失及公司不配合补办的情况，以及您已经尝试过的协商和收集证据的过程。

3. 等待调查处理：劳动监察部门将依法对公司进行调查，并可能责令其改正违法行为。您需要耐心等待调查结果，并配合劳动监察部门的工作。

四、考虑申请劳动仲裁或提起诉讼

如果劳动监察部门的处理结果不满意或公司仍拒不配合，您可以考虑进一步采取法律行动：

1. 申请劳动仲裁：

   • 准备仲裁申请书，明确仲裁请求、事实和理由，并附上相关证据材料。
   • 参加庭审，充分阐述您的观点，提供证据支持您的主张。
   • 如果仲裁裁决支持您的请求而公司不履行，您可以向人民法院申请强制执行。

2. 提起诉讼：在某些情况下，您也可以选择直接向人民法院提起诉讼，要求公司承担法律责任。这通常是在劳动仲裁无法解决问题或您对仲裁结果不满意时的选择。

五、保留证据与咨询专业意见

1. 保留所有证据：在整个过程中，务必保留好所有与公司的沟通记录、投诉材料及相关证据。这些证据在后续的法律程序中可能发挥关键作用。

2. 咨询专业意见：如有需要，您可以咨询专业的律师或法律援助机构，获取更具体的法律建议和帮助。他们可以根据您的具体情况提供针对性的指导，帮助您更好地维护自己的合法权益。

综上所述，面对劳动合同遗失且公司不配合补办的问题，您应通过协商、收集证据、向劳动监察部门投诉以及申请劳动仲裁或提起诉讼等步骤来维护自己的合法权益。同时，保留好相关证据并适时咨询专业意见也是至关重要的。希望这些建议能对您有所帮助。