兼职教师与学校或教育机构之间构成的是劳务关系还是非全日制劳动关系（或一般劳动关系），需根据具体情况来判断。以下是从不同角度进行的分析：
一、劳动关系与劳务关系的核心区别
主体资格与隶属关系：
- 劳动关系中，双方具有特定性，一方是用人单位，另一方是劳动者，且劳动者需遵守用人单位的规章制度。
- 劳务关系中，主体类型多样，提供劳务的一方无须成为另一方的成员，即可提供劳务，双方之间不存在隶属关系。
国家干预程度与义务承担：
- 劳动关系受劳动法律法规的严格调整，用人单位必须为劳动者购买社会保险等。
- 劳务关系主要受民法调整，用工单位一般不为提供劳务者承担社会保险等义务。
报酬支付与法律救济：
- 劳动关系中，工资遵循按劳分配、同工同酬原则，并受最低工资标准限制；劳动争议适用专门的“一调一裁两审”或“一调一裁”处理机制。
- 劳务关系中，报酬由双方协商确定；劳动纠纷采用普通民事争议处理程序。
二、兼职教师的情况分析
未签订劳动合同或口头约定的情况：
- 如果兼职教师未与学校或教育机构签订书面劳动合同，且工作内容、时间、报酬等均由双方口头约定，那么这种关系更可能被视为劳务关系。
- 在此情况下，兼职教师通常不受学校规章制度的约束，也不享受学校的福利待遇，如社保、公积金等。
已签订劳动合同或存在事实劳动关系的情况：
- 如果兼职教师与学校或教育机构签订了书面劳动合同，或者虽未签订书面合同但存在事实上的劳动关系（如长期、稳定地在学校任教，遵守学校的规章制度，接受学校的管理和监督），那么这种关系应被认定为劳动关系，可能是非全日制劳动关系（如果符合非全日制用工的条件）或一般劳动关系。
- 非全日制劳动关系：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，非全日制用工是指以小时计酬为主，劳动者在同一用人单位一般平均每日工作时间不超过四小时，每周工作时间累计不超过二十四小时的用工形式。如果兼职教师符合这一条件，且双方有明确的约定，那么可以认定为非全日制劳动关系。
- 在此情况下，兼职教师应享有劳动法规定的各项权益，如工资、福利、社保等（非全日制用工下，社保的缴纳可能根据具体情况有所不同，但用人单位仍需承担一定责任）。
三、实际判断因素与建议
- 工作性质与时间：法院或仲裁机构在判断兼职教师与学校或教育机构之间的关系时，会综合考虑工作性质、工作时间、报酬支付方式以及是否受学校规章制度约束等因素。
- 建议：
- 对于兼职教师而言，建议在与学校或教育机构合作前，明确双方的关系性质，并签订书面合同以明确权利义务。
- 如果希望建立劳动关系（包括非全日制劳动关系），应确保符合相关法律法规的规定，并要求用人单位购买相应的社会保险。
- 如果发生争议，应及时收集证据并寻求法律帮助，以维护自己的合法权益。
总结来说，兼职教师与学校或教育机构之间构成的是劳务关系还是劳动关系（包括非全日制劳动关系），需根据双方的具体约定、工作性质、时间以及是否受学校规章制度约束等因素来综合判断。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。