可以申请法院强制执行。当复议机关作出要求败诉方履行职责的决定后，若败诉方不履行该职责，申请执行人（通常是复议申请人或相关权益人）有权向法院申请强制执行。以下从几个方面进行详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政复议法》的相关规定，复议机关在作出复议决定后，该决定具有法律效力，败诉方应当履行。若败诉方不履行，申请执行人可以依据复议决定向法院申请强制执行。
   • 同时，《中华人民共和国行政诉讼法》也规定了，公民、法人或者其他组织拒绝履行判决、裁定、调解书的，行政机关或者第三人可以向第一审人民法院申请强制执行，或者由行政机关依法强制执行。虽然此条款直接提及的是判决、裁定、调解书，但复议决定作为具有法律效力的文书，其执行原理与判决、裁定相似，因此可以参照执行。

2. 申请强制执行的流程：

   • 准备材料：申请执行人需要准备复议决定书、败诉方不履行职责的证据材料以及申请执行书等。
   • 提交申请：将准备好的材料提交至有管辖权的人民法院，通常是复议机关所在地或者败诉方所在地的人民法院。
   • 法院审查：法院会对申请执行的材料进行审查，确认复议决定的合法性以及败诉方不履行职责的事实。
   • 执行裁定：若法院审查后认为符合执行条件，会作出执行裁定，并开始执行程序。

3. 可能遇到的法律后果：

   • 败诉方履行职责：在法院执行程序的压力下，败诉方可能会选择履行职责，从而避免进一步的法律后果。
   • 强制执行措施：若败诉方仍不履行职责，法院可以采取一系列强制执行措施，如查封、扣押、拍卖财产等，以强制败诉方履行职责。
   • 罚款或拘留：对于拒不履行法院判决、裁定的败诉方，法院还可以对其处以罚款或拘留等处罚措施。

4. 注意事项：

   • 申请执行的时效：申请执行人应在复议决定规定的履行期限届满后的一定期限内（通常是两年内）向法院申请强制执行，逾期可能会丧失申请执行的权利。
   • 证据的充分性：申请执行人应确保提供的证据材料充分、确凿，以证明败诉方不履行职责的事实。

综上所述，当复议机关判了要求履行职责而败诉方不履行时，申请执行人完全有权向法院申请强制执行。在申请过程中，应确保材料的充分性和时效性，并遵循法院的执行程序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。