结论：在双方协议离婚后，若男方在婚姻关系存续期间出轨并生下孩子，女方在一定情况下是有权起诉要求赔偿的。具体能否获赔，需结合实际情况及证据综合判断。以下从不同角度进行分析：

1. 构成“重婚”或“与他人同居”情形：

   • 若男方在婚姻关系存续期间，与第三者以夫妻名义共同生活并生育子女，此行为构成重婚，女方作为无过错方，在离婚时有权请求损害赔偿。
   • 若男方虽未与第三者以夫妻名义生活，但长期稳定共同居住并生育子女，则属于“与他人同居”的情形，女方同样有权请求损害赔偿。赔偿范围包括物质损害赔偿（如因调查男方出轨行为所产生的合理费用）和精神损害赔偿（如因男方出轨行为给女方造成的精神痛苦和创伤）。

2. 不构成上述法定情形，但被认定为“其他重大过错”：

   • 即使男方出轨生育子女的行为不构成重婚或与他人同居，但若其行为严重影响了夫妻感情和家庭生活，给女方带来了极大的精神伤害，结合具体情况，仍可能被法院认定为“其他重大过错”。
   • 在此情况下，女方同样可以在离婚时要求损害赔偿。法院会综合考虑男方的过错程度、女方所遭受的精神创伤、实际损失以及男方的经济能力和当地平均生活水平等因素，来确定赔偿数额。

3. 协议离婚后的赔偿请求：

   • 根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第八十九条的规定，当事人在婚姻登记机关办理离婚登记手续后，以民法典第一千零九十一条规定为由向人民法院提出损害赔偿请求的，人民法院应当受理。但当事人在协议离婚时已经明确表示放弃该项请求的，人民法院不予支持。
   • 因此，若女方在协议离婚时未明确表示放弃损害赔偿请求，且能提供充分证据证明男方的出轨行为及与私生子的亲子关系，那么女方在离婚后仍有权向法院起诉要求赔偿。

4. 证据收集与诉讼过程：

   • 女方需积极收集相关证据，以证明男方的出轨行为及与私生子的亲子关系。证据可包括但不限于聊天记录、照片、视频、证人证言、亲子鉴定报告等。
   • 这些证据在诉讼过程中至关重要，能有效支持女方的赔偿主张。女方应在起诉时明确提出损害赔偿的请求，并确保所提供证据合法、有效，能被法院认可。

5. 赔偿数额的确定：

   • 法院在判决赔偿数额时，会综合考虑多方面因素，包括男方的过错程度、女方所遭受的精神创伤、实际损失以及男方的经济能力和当地平均生活水平等。
   • 赔偿形式通常包括精神损害抚慰金、物质损害赔偿等。具体数额需由法院根据实际情况依法判决，可能因案情和证据差异而有所不同。

建议：

• 女方在面临此类情况时，应尽快收集相关证据，并咨询专业律师（即我本人，谭芳律师，专注于离婚、离婚财产纠纷、婚姻家庭等领域）以获取更具体的法律建议和帮助。
• 通过综合考量法律依据、具体情况及证据收集，女方可以更有针对性地维护自己的合法权益，并在必要时寻求法律救济。