您好，关于您提出的“没有合同能办理退休吗”这一问题，我可以给您一个详细且清晰的解答。

首先，我们需要明确的是，办理退休手续并不完全依赖于是否拥有劳动合同。退休手续的办理主要依据的是个人的年龄、工龄以及是否满足相关的退休条件，这些条件通常由国家的法律法规以及地方政策来规定。

在实际操作中，劳动合同是证明劳动者与用人单位之间存在劳动关系的重要文件，它记录了双方的权利和义务，包括工作年限、工资待遇等。然而，即使没有书面的劳动合同，只要劳动者能够提供其他证据来证明自己与用人单位之间存在事实劳动关系，比如工资单、工作证、考勤记录等，也是有可能办理退休手续的。

以您提到的案例为例，那位女教师在学校连续工作了31年，即使她的劳动合同到期且未续签，这并不意味着她就不能办理退休手续。因为她已经满足了退休的基本条件，即年龄和工龄要求。学校以“没有合同工退休先例”为由拒绝为她办理退休手续，这是不合法的，也不符合常理。

此外，我还想强调的是，用人单位在解除或终止劳动合同时，应当遵循相关的法律法规，不得随意侵犯劳动者的合法权益。如果用人单位违反规定解除或终止劳动合同，劳动者有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，维护自己的合法权益。

因此，即使没有劳动合同，只要您能够提供其他证据来证明自己与用人单位之间存在事实劳动关系，并且满足了退休的基本条件，您仍然有可能办理退休手续。如果您在办理过程中遇到任何问题或困难，建议您及时咨询当地的劳动保障部门或专业律师，以获取更具体的帮助和指导。