结论：公司不提供工资条，劳动者可以申请劳动仲裁，但能否要求公司赔偿需视具体情况而定。
分析说明：
公司不提供工资条，劳动者可以申请劳动仲裁：
- 根据《劳动争议调解仲裁法》的相关规定，劳动者与用人单位之间因劳动报酬等发生争议，属于劳动仲裁的受理范围。工资条作为劳动者获取劳动报酬的重要凭证，公司不提供工资条可能侵犯了劳动者的知情权，因此劳动者有权就此向劳动仲裁机构申请仲裁。
能否要求公司赔偿需视具体情况：
- 若公司未提供工资条但未造成实际损失：在这种情况下，劳动者虽然可以申请劳动仲裁要求公司提供工资条，但一般难以直接要求公司赔偿。因为赔偿通常需要以实际损失为前提，若未造成实际损失，则赔偿请求可能缺乏法律依据。
- 若公司未提供工资条且造成实际损失：如果公司不提供工资条导致劳动者无法及时了解自己的工资情况，进而造成经济损失（如无法及时核对工资、发现工资错误等），那么劳动者在申请劳动仲裁时，可以一并要求公司赔偿因此造成的实际损失。但需要注意的是，劳动者需要提供充分的证据证明损失的存在以及损失与公司不提供工资条之间的因果关系。
法律建议：
- 与公司协商：在申请劳动仲裁前，劳动者可以尝试与公司进行协商，要求公司提供工资条或解释工资情况。这有助于快速解决问题，避免不必要的法律纠纷。
- 收集证据：如果公司拒绝提供工资条或协商无果，劳动者应开始收集相关证据，如工作记录、考勤记录、银行流水等，以证明自己的工资情况以及公司未提供工资条的事实。
- 申请劳动仲裁：在收集到充分证据后，劳动者可以向当地的劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司提供工资条并可能要求赔偿因此造成的损失。
后续行动指南：
- 如果劳动者决定申请劳动仲裁，应尽快准备相关材料并提交给劳动仲裁机构。
- 在仲裁过程中，劳动者应积极配合仲裁机构的工作，提供必要的证据和陈述。
- 如果对仲裁结果不满意，劳动者还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。
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