结论：第二年公司未与员工签订书面劳动合同，员工有权要求公司支付未签书面劳动合同的双倍工资差额，但需注意时效问题。

详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”这一条款明确规定了用人单位未与劳动者签订书面劳动合同时的法律责任。

2. 双倍工资差额的计算：

   • 在您的情况下，第一年已经签订了书面劳动合同，但第二年未签订。因此，从第二年合同到期后的次月起，至双方实际签订书面劳动合同或劳动关系终止之日止（但最长不超过一年），公司应向您支付双倍工资差额。
   • 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × 未签合同月数（但最长不超过11个月，因为从第二个月开始计算，且总时长不超过一年）。例如，如果您的月工资是5000元，且未签合同的时间为6个月，则双倍工资差额为5000元 × 6个月 = 30000元。

3. 时效问题：

   • 需要注意的是，根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十七条的规定，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，您应在知道或应当知道公司未签订书面劳动合同之日起一年内，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求公司支付双倍工资差额。

4. 实际操作建议：

   • 首先，与公司进行协商，看是否能够达成和解，要求公司支付双倍工资差额。
   • 如果协商无果，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据（如工资单、工作证、考勤记录等）来证明您与公司存在劳动关系，以及公司未与您签订书面劳动合同的事实。
   • 在仲裁过程中，您可以寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。

后续行动建议：

• 尽快收集相关证据，如工资单、工作证、考勤记录等，以证明您与公司存在劳动关系。
• 与公司进行协商，看是否能够达成和解。
• 如果协商无果，及时向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，并在仲裁过程中寻求专业律师的帮助。

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