结论是：在符合一定条件的情况下，仲裁确实可以让劳务派遣公司进行赔偿。以下从不同角度为你详细分析：
一、劳务派遣关系中的责任主体
在劳务派遣关系中，存在三方主体：劳务派遣单位（即用人单位）、用工单位和劳动者。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳务派遣单位应当履行对劳动者的义务，比如与劳动者签订劳动合同、支付劳动报酬、缴纳社会保险等。如果劳务派遣单位违反了这些义务，给劳动者造成了损害，那么劳动者有权要求劳务派遣单位承担赔偿责任。
二、仲裁的适用情形
当劳动者与劳务派遣单位之间发生劳动争议，且这种争议属于劳动争议调解仲裁法规定的受理范围时，劳动者可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。这些争议包括但不限于：因确认劳动关系发生的争议、因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同发生的争议、因劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或者赔偿金等发生的争议等。
具体到赔偿问题：
如果劳务派遣单位未按照劳动合同约定支付劳动报酬或者提供劳动条件，劳动者可以要求劳务派遣单位支付拖欠的工资、经济补偿等，并通过仲裁来维护自己的权益。
如果劳动者在用工单位因工作原因受到事故伤害，且该伤害被认定为工伤，那么劳务派遣单位作为用人单位，应当承担工伤保险责任。如果劳务派遣单位未依法为劳动者缴纳工伤保险费，导致劳动者无法享受工伤保险待遇，劳动者可以要求劳务派遣单位支付相应的工伤保险待遇，并通过仲裁来寻求赔偿。
三、仲裁的流程与注意事项
提交仲裁申请：劳动者需要向劳动争议仲裁委员会提交书面仲裁申请，并按照被申请人人数提交副本。仲裁申请书应当载明劳动者的姓名、性别、年龄、职业、工作单位和住所，用人单位的名称、住所和法定代表人或者主要负责人的姓名、职务，以及仲裁请求和所根据的事实、理由等。
仲裁受理：劳动争议仲裁委员会在收到仲裁申请之日起五日内，认为符合受理条件的，应当受理，并通知申请人；认为不符合受理条件的，应当书面通知申请人不予受理，并说明理由。
开庭审理：仲裁庭在开庭五日前，会将开庭日期、地点书面通知双方当事人。劳动者和劳务派遣单位都有权参加庭审，进行陈述、辩论和质证。
仲裁裁决：仲裁庭在查明事实的基础上，会根据法律规定作出裁决。如果裁决劳务派遣公司需要承担赔偿责任，那么劳务派遣公司应当履行裁决义务。
注意事项：
四、后续行动建议
如果仲裁裁决支持了劳动者的赔偿请求，但劳务派遣单位拒不履行裁决义务，劳动者可以向人民法院申请强制执行。同时，劳动者也可以考虑与劳务派遣单位进行协商，寻求和解或者调解的方式解决争议，以节省时间和成本。
如果你在劳务派遣关系中遇到了赔偿问题，或者对仲裁流程有任何疑问，都可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况，为你提供更详细的法律建议。