核心结论：在乡镇人民政府答复申请人拆除违建但不履行的案件中，最终处理方式通常涉及行政复议、行政诉讼以及可能的行政强制执行程序，具体处理取决于案件的具体情况和法律程序。以下是对此问题的详细分析：

1. 行政复议途径：

   • 申请复议：申请人若认为乡镇人民政府未履行拆除违建的法定职责，可以向上一级人民政府或相关行政复议机构申请行政复议。
   • 复议结果：复议机关将审查乡镇人民政府的行为是否合法、合理，并作出复议决定。若复议决定支持申请人的请求，乡镇人民政府通常需履行拆除职责。

2. 行政诉讼途径：

   • 提起诉讼：若申请人对行政复议结果不满，或未选择行政复议而直接选择诉讼，可向人民法院提起行政诉讼。
   • 诉讼审理：法院将审查乡镇人民政府的行为是否合法，包括是否履行了法定职责、程序是否合法等。
   • 判决结果：若法院判决乡镇人民政府未履行法定职责，将责令其限期履行；若乡镇人民政府仍不履行，法院可能采取强制执行措施，如直接强制拆除违建或对乡镇人民政府处以罚款等。

3. 行政强制执行程序：

   • 催告程序：在行政诉讼判决后，若乡镇人民政府仍未履行拆除职责，法院将发出催告书，要求其在一定期限内履行。
   • 强制执行：若乡镇人民政府在催告期限内仍未履行，法院将依法采取强制执行措施，如组织强制拆除、划拨存款、拍卖财物等，以确保判决得到执行。

4. 其他可能的处理方式：

   • 协商调解：在行政复议或诉讼过程中，双方也可能通过协商调解达成一致，由乡镇人民政府主动履行拆除职责或申请人接受其他补偿方案。
   • 监督问责：若乡镇人民政府的行为构成违法失职，相关监督机关（如监察委员会）可能对其进行问责，包括警告、记过、降级等处分。

行动建议：

• 若您遇到此类情况，建议首先收集相关证据，如乡镇人民政府的答复文件、违建照片、相关法律法规等。
• 您可以根据具体情况选择行政复议或行政诉讼途径来维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，保持与乡镇人民政府及相关部门的沟通，了解案件进展，并适时寻求法律援助或咨询专业律师（即向我咨询）以获取更具体的法律建议。