公安机关办理行政案件终止调查的四种情形主要包括以下内容：

1. 没有违法事实的：

   • 当公安机关经过调查后，确认不存在违反治安管理或其他行政法规的违法事实时，应当终止调查。这是基于事实认定不清或事实不存在的原则，即如果经过全面、客观的调查，无法证明有违法行为发生，那么继续调查就失去了意义。

2. 违法行为已过追究时效的：

   • 根据相关法律法规，对于某些违法行为，如果自违法行为发生之日起超过了一定的时间期限（即追究时效），公安机关就不再予以追究。这是为了保障法律的稳定性和可预测性，避免对过时的违法行为进行无休止的追查。例如，根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第二十二条的规定，违反治安管理行为在六个月内没有被公安机关发现的，不再处罚。

3. 违法嫌疑人死亡的：

   • 如果违法嫌疑人在案件调查过程中死亡，那么由于无法再对其进行法律追究，公安机关应当终止调查。这是基于法律对人的基本权利的保护，即无法对已经死亡的人进行法律处罚或制裁。

4. 其他需要终止调查的情形：

   • 这是一个兜底条款，涵盖了其他所有可能导致调查无法继续或没有必要继续的情形。例如，如果案件涉及的国家秘密已经解密，或者案件涉及的外国人在调查过程中离境且无法再追查等。这些情形可能因具体案件而异，需要公安机关根据实际情况进行判断和决定。

法律背景与建议：

• 法律背景：公安机关在办理行政案件时，必须遵循法定程序和原则，确保案件的公正、公平和合法处理。终止调查是公安机关在特定情况下依法行使职权的一种表现，旨在避免不必要的法律纠纷和资源浪费。
• 法律建议：对于当事人而言，如果认为自己涉及的行政案件可能符合终止调查的情形，可以及时向公安机关提出申请或说明情况。同时，当事人也有权对公安机关的终止调查决定提出异议或申请复议，以维护自己的合法权益。

在处理行政案件时，公安机关会严格依据法律法规和程序进行操作。如果您对具体案件的处理有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见。