核心结论：遇到定制断桥铝窗户未签合同但完工后商家故意涨价的情况，您可以通过协商、投诉、诉讼等途径维护自身权益，具体分析如下：

1. 法律关系分析
   即使未签订书面合同，只要您能证明双方存在事实合同关系（如聊天记录、付款凭证、送货单、安装照片等），商家仍需按约定履行义务。根据《民法典》第四百六十九条，合同形式包括书面、口头或其他形式，口头约定同样具有法律效力。商家完工后单方涨价的行为构成违约，您有权要求其按原约定价格完成交易。

2. 维权步骤建议

   • 第一步：固定证据
     收集所有能证明原约定价格的证据，例如：

     • 商家报价单、微信/短信沟通记录（明确价格、规格、交付时间等）；
       
     • 付款记录（定金或部分货款）；
       
     • 窗户安装前后的照片或视频（证明已完工）；
       
     • 证人证言（如邻居、物业人员目睹安装过程）。
       

   • 第二步：协商解决
     向商家明确指出其行为违法，要求按原价格结算。可引用《民法典》第五百七十七条（违约责任）和第五百七十九条（赔偿损失）作为依据，强调若商家拒不履行，您将通过法律途径追责。

   • 第三步：投诉举报
     若协商无果，可向以下部门投诉：

     • 12315消费者协会：投诉商家欺诈或违约；
       
     • 市场监督管理局：举报商家违反《价格法》（如未明码标价、哄抬价格）；
       
     • 行业协会：如当地门窗行业协会，寻求行业调解。
       

   • 第四步：诉讼维权
     若投诉未果，可直接向法院起诉，主张：

     • 商家继续履行合同（按原价交付窗户）；
       
     • 赔偿因涨价导致的额外损失（如延误使用的租金损失）；
       
     • 承担诉讼费用。
       提示：诉讼时效为3年，自您知道权利受损之日起计算。

3. 风险提示

   • 若证据不足（如无价格约定记录），可能面临举证困难，需尽量补充其他证据（如同行报价、市场价证明）；
     
   • 若商家已部分履行（如安装部分窗户），可要求按比例支付款项，但需留存质量验收证据；
     
   • 避免自行拆除窗户，否则可能被商家反诉损坏财物。

行动建议：优先通过协商+投诉解决，效率较高；若商家态度强硬，立即整理证据并委托律师起草《律师函》或直接起诉。如有具体证据或细节需要分析，可进一步向我提供材料，我将协助制定维权方案。