结论：司机遭遇单位不安排工作并要求请病假的情况，可通过以下方式处理：

1. 核实单位行为的合法性
   首先需明确，单位在工伤职工医疗期满后不安排工作是否合法。根据《工伤保险条例》第三十三条，职工因工作遭受事故伤害或患职业病需要暂停工作接受工伤医疗的，在停工留薪期内（一般不超过12个月，特殊情况经批准可延长），原工资福利待遇不变，由单位按月支付。若司机已过停工留薪期，单位需根据其工伤康复情况安排适当工作：

   • 若司机经劳动能力鉴定委员会确认完全丧失劳动能力，单位应为其办理退休或退职手续；
     
   • 若司机部分丧失劳动能力，单位应安排与其劳动能力匹配的工作，不得单方面强制要求请病假。
     若单位未履行上述义务，可能涉嫌违法解除或变相辞退，司机可主张权利。

2. 应对单位“要求请病假”的合法性审查
   单位要求司机请病假需满足以下条件，否则可能构成违法：

   • 病假需有真实医疗依据：司机需提供医疗机构出具的病假证明（如诊断书、休假建议等），且病情需与工伤无关（若与工伤相关，应适用工伤医疗期规定）；
     
   • 病假期间工资支付：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，病假工资不得低于当地最低工资标准的80%。若单位以“病假”为由降低工资或停发待遇，司机可要求补足差额；
     
   • 单位不得强制休假：若司机身体状况允许工作（如工伤康复后），单位无权单方面强制其休病假，否则可能构成“变相调岗”或“逼迫离职”。

3. 司机可采取的维权措施

   • 与单位协商：要求单位出具书面通知，明确不安排工作的理由及依据，并协商解决方案（如调整岗位、恢复工作等）；
     
   • 向劳动监察部门投诉：若单位存在未支付停工留薪期工资、强制病假、降低待遇等违法行为，可向当地劳动保障监察大队举报；
     
   • 申请劳动仲裁：若协商无果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张单位继续履行劳动合同、支付工资差额、赔偿金等；
     
   • 保留证据：注意保存工伤认定书、劳动能力鉴定结论、单位通知、工资条、医疗证明等材料，作为维权依据。

温馨提示：工伤职工的权益受法律特殊保护，单位不得因工伤歧视或变相辞退。若遇到复杂情况（如单位拒不配合、证据不足等），建议及时咨询专业律师，制定具体应对方案。