结论前置：劳务纠纷双方私下达成民事调解后，一般情况下不可以再起诉，但也存在例外情况。
详细分析：
一般情况下的不可起诉性：
- 当劳务纠纷双方私下达成民事调解，并签订了调解协议后，该协议在双方之间具有法律约束力。这意味着双方应当按照调解协议的内容履行各自的义务，不得随意反悔或提起诉讼。
- 调解协议的本质是一种合同，它体现了双方对纠纷解决的合意。一旦协议达成并履行（或部分履行），就表明双方已经接受了这种解决方式，并放弃了通过诉讼等法律途径进一步解决纠纷的权利。
例外情况下的可起诉性：
- 调解协议存在无效或可撤销情形：如果调解协议存在违反法律、行政法规的强制性规定，或者存在欺诈、胁迫、乘人之危等情形，导致协议无效或可撤销，那么受损害方有权向法院提起诉讼，请求确认协议无效或撤销协议，并重新解决纠纷。
- 一方不履行调解协议：如果一方在达成调解协议后，不履行协议约定的义务，另一方有权向法院提起诉讼，要求对方履行协议或承担违约责任。但这种情况下，起诉的标的并非原劳务纠纷，而是调解协议的履行问题。
- 调解协议内容不明确或存在争议：如果调解协议的内容不明确，或者双方对协议的理解存在争议，导致无法履行或产生新的纠纷，那么双方也可以协商解决或向法院提起诉讼，请求对协议进行解释或确认。
法律建议：
- 在达成民事调解前，双方应当充分了解各自的权益和义务，确保调解协议的内容明确、合法、有效。
- 调解协议签订后，双方应当认真履行协议约定的义务，避免产生新的纠纷。
- 如果一方不履行调解协议或协议存在无效、可撤销等情形，另一方应当及时咨询专业律师，了解自己的权利和义务，并采取相应的法律措施维护自己的合法权益。
可能法律后果：
- 如果一方违反调解协议，另一方提起诉讼并获得法院支持，那么违反协议的一方可能需要承担违约责任，包括赔偿损失、支付违约金等。
- 如果调解协议被确认无效或被撤销，那么双方需要重新解决原劳务纠纷，可能面临更长的诉讼周期和更高的诉讼成本。
总结：劳务纠纷双方私下达成民事调解后，一般情况下应当遵守调解协议，不得随意提起诉讼。但在特定情况下，如调解协议存在无效或可撤销情形、一方不履行调解协议或协议内容不明确等，另一方有权向法院提起诉讼。因此，在达成调解协议前，双方应当谨慎考虑并咨询专业律师的意见。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。