结论：劳动仲裁调解书生效后，双方私下可以再达成调解，但这种私下调解并不具有法律上的强制执行力，且可能因具体情况产生不同的法律效果。以下是对此问题的详细分析：

1. 私下调解的法律性质：

   • 劳动仲裁调解书一旦生效，即具有法律上的强制执行力，双方必须履行。若双方希望就原调解事项进行进一步协商或调整，私下达成的调解协议本质上是一种新的民事合同，它并不直接改变原调解书的法律效力。
   • 私下调解协议若希望获得法律上的强制执行力，通常需要双方再次通过劳动仲裁机构或法院进行确认，或者将私下调解协议转化为具有法律效力的文书，如和解协议并申请司法确认。

2. 私下调解的可能效果：

   • 若双方自愿履行：私下调解协议若得到双方的自愿履行，那么它实际上起到了解决纠纷的作用，尽管这种解决方式没有法律上的强制力作为保障。
   • 若一方反悔：若一方在私下调解后反悔，不愿履行协议，另一方通常不能直接依据私下调解协议向法院申请强制执行。此时，若原劳动仲裁调解书未被撤销或变更，另一方仍可依据原调解书申请强制执行。

3. 建议与注意事项：

   • 谨慎对待私下调解：在劳动仲裁调解书生效后，双方若希望进行私下调解，应谨慎考虑并充分评估风险。私下调解可能缺乏法律上的保障，一旦一方反悔，另一方可能面临维权困难。
   • 寻求法律专业人士帮助：若双方确实希望就原调解事项进行进一步协商或调整，建议寻求法律专业人士的帮助，以确保私下调解协议的合法性和有效性。法律专业人士可以协助双方起草具有法律效力的和解协议，并指导双方如何申请司法确认等。
   • 保留相关证据：无论是否进行私下调解，双方都应保留好与劳动仲裁相关的所有证据和文件，以备不时之需。这些证据和文件在后续可能发生的法律纠纷中可能起到关键作用。

举例说明：假设甲和乙因劳动争议进行了劳动仲裁，并达成了调解书。调解书生效后，甲和乙又私下就同一事项达成了新的调解协议。若甲后来反悔不愿履行私下调解协议，乙不能直接依据私下调解协议向法院申请强制执行。但乙仍可依据原劳动仲裁调解书申请强制执行，除非甲能证明原调解书已被撤销或变更。

进一步思考：在劳动仲裁调解书生效后，双方若希望就原调解事项进行进一步协商或调整，除了私下调解外，还可以考虑通过劳动仲裁机构或法院进行变更或撤销原调解书的申请。这通常需要提供充分的证据和理由来支持申请。因此，在决定采取何种方式解决纠纷时，双方应充分考虑各种因素并谨慎决策。

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