结论：公办学校倒闭后，合同制老师的处理方式主要取决于劳动合同的具体条款、相关法律法规以及学校的实际情况。以下是从不同角度进行的详细分析：

1. 劳动合同的履行与终止：

   • 合同到期或提前终止：如果合同制老师的劳动合同已经到期，或者学校因倒闭等不可抗力因素提前终止合同，那么根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，学校应当按照合同约定或法律规定支付经济补偿。经济补偿的标准通常根据老师的工作年限和工资水平来确定。
   • 合同未到期但学校倒闭：若合同未到期而学校倒闭，这属于劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行的情形。此时，学校应与老师协商变更劳动合同内容，如无法达成一致，学校可以提前三十日以书面形式通知老师或者额外支付老师一个月工资后，解除劳动合同，并支付相应的经济补偿。

2. 工资与福利的结算：

   • 工资支付：无论劳动合同是到期终止还是提前解除，学校都应确保在老师离职前结清所有工资，包括基本工资、奖金、津贴等。
   • 福利处理：对于未享受的福利，如年假、病假等，学校也应根据相关规定或合同约定进行结算或补偿。

3. 社会保险与公积金的转移：

   • 社会保险：学校应协助老师办理社会保险关系的转移手续，确保老师的社会保险权益不受影响。
   • 公积金：同样，学校也应协助老师办理住房公积金的提取或转移手续。

4. 再就业与职业培训：

   • 再就业支持：学校或相关部门可能提供再就业支持，如职业介绍、招聘会等，帮助老师尽快找到新的工作。
   • 职业培训：对于有需要的老师，学校或政府可能提供职业培训机会，提升老师的职业技能和就业竞争力。

5. 法律途径：

   • 协商与调解：如果老师与学校在劳动合同终止、工资结算等方面存在争议，可以首先尝试通过协商或调解的方式解决。
   • 仲裁与诉讼：若协商或调解无果，老师可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。

建议：

• 合同制老师在面对学校倒闭的情况时，应首先仔细审查自己的劳动合同，了解合同中的相关条款和规定。
• 积极与学校沟通，了解学校的倒闭原因、后续处理计划以及自己的权益保障情况。
• 如遇争议或无法解决的问题，及时寻求法律援助或咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。

示例： 假设某合同制老师在公办学校工作了5年，合同未到期但学校因经营不善而倒闭。此时，学校应与老师协商变更劳动合同内容或提前解除合同，并支付5个月工资作为经济补偿（假设按照老师上一年度月平均工资计算）。同时，学校还应结清老师的所有工资和福利，并协助办理社会保险和公积金的转移手续。如果老师对学校的处理方式有异议，可以通过协商、调解、仲裁或诉讼等途径解决争议。