当事业单位人员因病不能从事原岗位工作时，可以按照以下步骤来妥善处理这一问题，以保障自身的合法权益：
一、及时履行请假手续
口头报备：一旦发现身体不适，应第一时间通过电话、短信或即时通讯工具向直属领导说明情况，表达歉意并明确请假意向。例如：“领导，我因身体不适需要就医，特向您申请病假。”
提交书面证明：病情稳定后，需尽快补交医疗机构出具的《诊断证明书》或《病假建议书》，这些文件应明确注明建议休息的天数。同时，部分单位可能还要求填写制式的《病假申请表》，并经科室负责人签字确认。
二、确定医疗期及待遇
医疗期确定：根据国家相关规定，医疗期的长度取决于员工的实际工作年限和在本单位的工作年限。一般来说，医疗期不低于三个月，最长可达二十四个月。在此期间，单位不得单方面解除劳动合同。
工资及福利待遇：在医疗期内，单位应支付员工病假工资或疾病救济费，具体标准按国家和单位规定执行，但不得低于当地最低工资标准的80%。同时，单位应依法继续为员工缴纳五险一金，个人部分可从病假工资中代扣。
三、特殊情况处理
丧失劳动能力：若员工病情严重，经劳动能力鉴定委员会鉴定确认丧失劳动能力，且符合相关条件（如工作年限满十年，男年满五十周岁、女年满四十五周岁），可办理退休手续；工作年限不满十年的，则按退职办理，享受相应的养老待遇。
不符合退休、退职条件：若员工不符合退休、退职条件，单位在遵循相关人事管理规定并经过一定程序后，可能解除与该工作人员的聘用合同。但在此情况下，单位需按规定支付经济补偿。
四、沟通与协商
保持密切沟通：员工及其家属应与单位保持密切沟通，了解单位的具体规定和操作流程。对于工资发放标准、解除聘用合同等问题有异议时，应先向单位内部的人事部门反映情况，申请复核。
寻求解决方案：在沟通过程中，员工可以积极寻求双方都能接受的解决方案，如调整工作岗位、安排灵活工作时间等，以减轻工作负担并促进身体康复。
五、保留相关证据
在处理此类问题的过程中，员工应妥善保管好所有相关证据，包括医疗证明、劳动合同、工资条、请假记录等。这些证据在必要时将作为维护自身合法权益的重要依据。
综上所述，当事业单位人员因病不能从事原岗位工作时，应及时履行请假手续、确定医疗期及待遇、处理特殊情况、与单位保持沟通并协商解决方案，并保留好相关证据以备不时之需。