当补充协议和法院出具的调解书发生冲突时，原则上法院调解书的效力优先，但具体处理需结合实际情况判断。以下是详细分析：

1. 调解书的法律效力层级更高
   根据《民事诉讼法》第97条，法院调解书经双方当事人签收后即具有法律效力，与判决书具有同等强制执行力。而补充协议属于民事合同，其效力受《民法典》合同编调整。当两者内容冲突时，司法权对民事关系的干预效力强于当事人自行约定，因此调解书原则上优先适用。

2. 需审查补充协议的形成时间与调解书的关系

   • 若补充协议签订于调解书生效前：需判断调解书是否已涵盖协议内容。若调解书明确排除了协议条款（如载明”双方此前所有约定以本调解书为准”），则协议失效；若调解书未涉及，协议中与调解书不冲突的部分仍有效。
     
   • 若补充协议签订于调解书生效后：需审查是否存在《民法典》第154条规定的恶意串通损害他人权益情形。若存在，协议无效；若不存在，需进一步分析协议是否构成对调解书的合法变更（如双方自愿达成新合意并履行部分义务），此时可能通过另诉确认协议效力。

3. 实务中的处理路径

   • 执行阶段冲突：若一方以补充协议为由拒绝履行调解书，对方可向法院申请强制执行。被执行人若主张协议变更了调解书内容，需通过执行异议之诉解决，法院将审查协议真实性、合法性及是否构成对调解书的实质变更。
     
   • 诉讼阶段冲突：若在另案中涉及两份文件效力认定，法院会综合签订时间、履行情况、当事人真实意思表示等因素，依据《民法典》第143条（民事法律行为有效要件）和第543条（合同变更规则）进行裁判。

建议行动方案：

1. 立即梳理两份文件的时间线、核心条款差异及履行情况；
   
2. 收集协议签订时的沟通记录、付款凭证等证据材料；
   
3. 根据冲突内容性质（如金额、履行方式等）评估诉讼风险；
   
4. 若涉及执行程序，及时向执行法院提交书面异议并附证据。
   

如需进一步分析具体条款或制定应对策略，可提供文件关键内容后继续沟通。