结论：兄弟二人对于附近的老宅是否享有共有权利，主要取决于老宅的产权归属情况以及是否存在分家协议或相关法律事实。以下从不同情况进行分析：
老宅为父母遗产且未分割：
- 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，遗产是公民死亡时遗留的个人合法财产。若老宅为父母遗产，且父母未留下遗嘱指定继承人，则按照法定继承处理。在法定继承中，子女作为第一顺序继承人，有权继承父母的遗产。
- 共有权利：若老宅未进行分割，且兄弟二人均为法定继承人，则他们共同享有老宅的继承权，即共有权利。这种共有可能是按份共有（如果继承份额明确）或共同共有（如果继承份额未明确）。
老宅已通过分家协议分割：
- 法律背景：分家协议是家庭成员之间就家庭共有财产或父母遗产的分配达成的协议。如果分家协议合法有效，且明确规定了老宅的归属，则应按照分家协议执行。
- 共有权利：若分家协议中已明确老宅归其中一方所有，或双方按一定比例分割，则兄弟二人不再共同享有老宅的共有权利，而是各自享有协议中规定的权利。
老宅为兄弟二人共同建造或购买：
- 法律背景：如果老宅是兄弟二人共同出资建造或购买，且没有明确的产权归属约定，则根据《中华人民共和国民法典》中关于共有财产的规定，他们共同享有老宅的产权。
- 共有权利：在这种情况下，兄弟二人作为共有人，对老宅享有平等的占有、使用、收益和处分的权利。如果需要进行处分（如出售、抵押等），通常需要共有人的一致同意。
法律建议：
- 核实产权归属：首先，应核实老宅的产权归属情况，包括查看房产证、土地证等相关证件，以及了解老宅的历史建造或购买情况。
- 审查分家协议：如果存在分家协议，应仔细审查协议内容，了解老宅的归属情况以及各方的权利义务。
- 协商或诉讼解决：如果兄弟二人对老宅的共有权利存在争议，可以尝试通过协商解决。如果协商不成，可以寻求法律途径解决，如提起共有物分割诉讼或确认共有权诉讼等。
可能法律后果：
- 如果兄弟二人无法就老宅的共有权利达成一致，且未通过法律途径解决争议，可能会导致家庭关系紧张，甚至引发法律纠纷。
- 如果通过法律途径解决争议，法院将根据相关法律法规和事实情况作出判决，兄弟二人需遵守判决结果。
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