结论：当被申请人不履行裁决书时，申请执行要求支付延期利息的法律依据主要来源于《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释中关于执行程序的规定，特别是关于迟延履行期间债务利息的计算和支付。

分析：

1. 法律依据：

   • 《中华人民共和国民事诉讼法》：该法规定了执行程序的基本框架，包括执行申请、执行措施、执行中止和终结等。在执行过程中，如果被申请人未按照裁决书指定的期间履行给付金钱义务，申请人有权要求被申请人支付迟延履行期间的债务利息。
   • 《最高人民法院关于执行程序中计算迟延履行期间的债务利息适用法律若干问题的解释》：该解释详细规定了迟延履行期间债务利息的计算方法，包括一般债务利息和加倍部分债务利息的计算，为申请人要求支付延期利息提供了具体的法律依据。

2. 延期利息的计算：

   • 一般债务利息：根据生效法律文书确定的方法计算；如果生效法律文书未确定给付该利息的，则不予计算。
   • 加倍部分债务利息：自裁决书确定的履行期间届满之日起，按照日万分之一点七五的利率计付。这部分利息的计算是强制性的，旨在惩罚被申请人的迟延履行行为，并补偿申请人因此遭受的损失。
   • 计算公式：加倍部分债务利息=债务人尚未清偿的生效法律文书确定的除一般债务利息之外的金钱债务×日万分之一点七五×迟延履行期间。

3. 申请执行的流程：

   • 申请人应在裁决书规定的履行期限届满后，向有管辖权的人民法院提出执行申请。
   • 提交执行申请时，应附上裁决书、执行申请书等必要材料。
   • 人民法院在受理执行申请后，会依法向被申请人发出执行通知，责令其履行义务。如果被申请人仍不履行，人民法院将采取强制执行措施，包括查封、扣押、拍卖财产等，并计算并支付延期利息。

4. 注意事项：

   • 申请人在申请执行时，应确保裁决书已经生效且具有可执行性。
   • 申请人应密切关注执行进展，及时与人民法院沟通，了解执行情况。
   • 如果被申请人提出异议或申请复议，申请人应积极应对，维护自己的合法权益。

建议：

• 在申请执行前，申请人应仔细研究裁决书和相关法律法规，确保自己的申请符合法律要求。
• 如果对执行程序或延期利息的计算有疑问，可以咨询专业律师或查阅相关司法解释和案例，以获取更准确的法律意见。
• 在执行过程中，申请人应保持与人民法院的沟通联系，及时了解执行进展和结果。

如有任何进一步疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。