刑事申诉审查阶段当事人有权申请回避。以下是详细分析：

1. 法律依据与程序性质
   根据《刑事诉讼法》第29条、第30条及《最高人民法院关于适用〈刑事诉讼法〉的解释》第43条，回避制度适用于所有刑事诉讼程序，包括立案、侦查、起诉、审判及申诉审查阶段。申诉审查作为审判监督程序的组成部分，属于刑事诉讼的法定环节，当事人（申诉人或被申诉人）当然享有申请回避的权利。

2. 申请回避的法定情形
   当事人可基于以下理由申请回避：

   • 利害关系：审判人员、检察人员与案件当事人存在亲属关系、师生关系、同学关系等可能影响公正处理的关联；
     
   • 利益关联：审判人员、检察人员曾参与本案一审、二审或抗诉程序，或接受过当事人、代理人的请客送礼；
     
   • 其他情形：如审判人员、检察人员存在偏见、先入为主等可能影响公正判断的主观因素。

3. 申请回避的程序要求

   • 申请主体：当事人（包括申诉人、被申诉人）及其法定代理人、近亲属；
     
   • 申请方式：需以书面或口头形式提出，并说明具体理由；
     
   • 审查主体：由受理申诉的法院院长或检察院检察长决定；
     
   • 救济途径：若申请被驳回，当事人可申请复议一次，复议决定为终局决定。

4. 实务建议

   • 及时性：发现回避情形后，应尽快提出申请，避免因程序延误影响申诉审查进度；
     
   • 证据支持：申请回避时需提供初步证据（如关系证明、请客送礼记录等），以增强说服力；
     
   • 策略考量：若回避申请被驳回，可结合其他申诉理由（如事实认定错误、法律适用不当）综合主张权利。

总结：刑事申诉审查阶段当事人申请回避是法定权利，但需严格遵循程序要求。若您遇到具体案件中的回避问题，可直接向我咨询，我将结合案情提供针对性分析。