结论：工作期间被猫咬伤，是否可以同时向猫主人和单位申请赔偿，需根据具体情况分析，一般情况下可能存在分别向猫主人和单位主张赔偿的情况，但能否同时获得赔偿以及赔偿的具体范围和方式，需结合实际情况和法律规定来判断。
分析如下：
向猫主人主张赔偿：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任。这意味着，如果猫是猫主人饲养的，且咬伤行为发生在工作期间，但并非因工作原因导致（即非职务行为），那么猫主人作为动物饲养人，应当承担相应的赔偿责任。
- 赔偿范围：通常包括医疗费、误工费、交通费等因猫咬伤而产生的直接经济损失。如果咬伤严重，还可能包括残疾赔偿金、精神损害抚慰金等。
向单位主张赔偿：
- 工作相关性的考量：如果被猫咬伤是在执行工作任务过程中发生的，且该猫并非单位饲养或管理，但单位在工作环境安全保障方面存在过错（如未采取合理措施防止动物进入工作区域），那么单位可能因未尽到安全保障义务而需承担一定的赔偿责任。不过，这种情况下单位承担的往往是补充责任，即先由猫主人承担赔偿责任，不足部分由单位承担。
- 工伤保险的适用：如果被猫咬伤被认定为工伤（即因工作原因受到事故伤害），那么根据《工伤保险条例》的规定，劳动者可以享受工伤保险待遇，包括医疗费用、伤残津贴等。这种情况下，劳动者无需向猫主人或单位主张民事赔偿，而是通过工伤保险程序获得补偿。但需要注意的是，工伤保险待遇与民事赔偿是两种不同的救济途径，一般情况下不能同时获得（除非法律有特别规定或双方有特别约定）。
特殊情况说明：
- 如果猫是单位饲养或管理的，那么单位作为动物饲养人，应当直接承担侵权责任，此时无需再区分向猫主人还是单位主张赔偿。
- 如果被猫咬伤既符合工伤认定条件，又存在猫主人侵权的情况，劳动者可以选择其中一种途径主张权利，或者根据具体情况和法律规定，尝试同时主张但需注意避免重复获赔。
建议：
- 在处理此类纠纷时，建议首先收集并保存好相关证据，如医疗记录、工作记录、现场照片等，以便在主张权利时提供有力支持。
- 可以先尝试与猫主人和单位进行协商，看是否能够达成和解协议，快速解决纠纷。
- 如果协商无果，可以考虑通过法律途径解决，如向人民法院提起诉讼或申请劳动仲裁等。在此过程中，建议咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分保障。
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