关于“涉嫌犯罪被抓后经办人下达通知书的时间”这一问题，这通常涉及刑事诉讼中的几个关键环节，我会从以下几个方面为你详细解答：

1. 拘留通知书的下达时间：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关在拘留犯罪嫌疑人后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，并在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。这一步骤是为了保障被拘留人的合法权益，确保其家属及时了解情况。
   • 例外情况：如果存在无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形，可以在有碍侦查的情形消失以后，立即通知被拘留人的家属。

2. 逮捕通知书的下达时间：

   • 如果犯罪嫌疑人被批准逮捕，公安机关在执行逮捕后，同样应当立即将被逮捕人送看守所羁押，并在逮捕后二十四小时以内，通知被逮捕人的家属。这一步骤与拘留后的通知要求相似，都是为了保障被逮捕人的合法权益。
   • 审查批准逮捕的流程：在逮捕前，公安机关会提请人民检察院审查批准逮捕。人民检察院在接到提请批准逮捕书后，会在规定的时间内（一般为七日）作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。如果批准逮捕，公安机关会执行逮捕并通知家属。

3. 其他相关通知：

   • 在刑事诉讼过程中，除了拘留和逮捕通知书外，还可能涉及其他类型的通知，如取保候审决定书、监视居住决定书等。这些通知的下达时间会根据具体情况和法律程序的要求而有所不同。

法律建议：

• 如果你或你的家人涉嫌犯罪被抓，并收到了相关通知书，请务必仔细阅读通知书上的内容，了解自己的权利和义务。
• 如果你对通知书上的内容有疑问或不解，可以及时向经办人咨询或寻求专业律师的帮助。
• 在整个刑事诉讼过程中，保持与经办人的良好沟通是非常重要的。这有助于你及时了解案件进展情况，并为自己或家人争取更好的法律结果。

可能后果：

• 如果未能及时收到通知书或对通知书上的内容有异议，可能会影响到你或你家人的合法权益。因此，务必保持警惕并及时采取行动。
• 在刑事诉讼过程中，如果违反了相关法律规定或程序要求，可能会面临更严重的法律后果。因此，建议你在整个过程中严格遵守法律规定和程序要求。

总之，涉嫌犯罪被抓后经办人下达通知书的时间主要取决于刑事诉讼的具体环节和法律程序的要求。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。