编制内教师在请假探亲期间车祸死亡，其赔偿问题需结合工伤保险、交通事故赔偿及单位可能的人道主义补偿等多方面综合分析，具体如下：

1. 工伤保险赔偿
   根据《工伤保险条例》第十四条，职工在“上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故”可认定为工伤。但本案中教师处于“请假探亲”状态，是否属于“上下班途中”需严格界定：

   • 若请假期间无工作安排（如完全休息、探亲），则不属于“上下班途中”，通常无法认定工伤；
     
   • 若请假期间仍需处理工作事务（如线上办公、临时返岗），且车祸发生在合理路线中，可能被认定为工伤。
     若符合工伤条件，家属可主张：
     
   • 一次性工亡补助金（上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍）；
     
   • 丧葬补助金（6个月统筹地区上年度职工月平均工资）；
     
   • 供养亲属抚恤金（配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或孤儿增加10%）。
     

2. 交通事故赔偿
   无论是否认定工伤，家属均可向肇事方主张民事赔偿，包括：

   • 死亡赔偿金（按受诉法院所在地上一年度城镇居民人均可支配收入×20年计算）；
     
   • 丧葬费（按受诉法院所在地上一年度职工月平均工资×6个月计算）；
     
   • 被扶养人生活费（根据扶养人丧失劳动能力程度，按受诉法院所在地上一年度城镇居民人均消费支出计算）；
     
   • 精神损害抚慰金（根据侵权人过错程度、经济能力等酌情主张）。
     注意：若教师自身对事故负主要责任（如闯红灯、酒驾），则肇事方赔偿比例会降低。

3. 单位人道主义补偿
   即使不构成工伤，单位可能基于人文关怀给予一定补偿（如抚恤金、困难补助），但此非法定义务，需家属与单位协商或依据单位内部规章制度处理。

建议家属行动步骤：

1. 立即报警并保留交通事故责任认定书（明确责任比例）；
   
2. 向单位申请工伤认定（需在事故发生后1年内提出）；
   
3. 同步向肇事方提起民事诉讼（注意诉讼时效为3年）；
   
4. 整理教师工资证明、被扶养人身份证明等材料，以支持赔偿主张。
   

若涉及具体操作细节（如工伤认定材料、赔偿计算标准），可进一步向我咨询。