外聘教师被辞退的补偿问题，需根据辞退原因和劳动合同性质综合判断，具体如下：

1. 若属于违法解除劳动合同
   根据《劳动合同法》第87条，用人单位违法解除劳动合同的，需按经济补偿标准的2倍支付赔偿金。

   • 经济补偿标准：每工作满1年支付1个月工资（6个月以上按1年计算，不足6个月支付半个月工资）。
     
   • 计算示例：工作10年，赔偿金为20个月工资（10年×2倍）。
     
   • 关键点：需证明用人单位解除行为违法（如无合法理由、未履行法定程序等）。

2. 若属于合法解除劳动合同

   • 经济补偿：用人单位需支付经济补偿金，标准为每工作满1年支付1个月工资（10年即10个月工资）。
     
   • 合法解除情形：包括劳动者严重违纪、不能胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任、客观情况重大变化导致合同无法履行等（需用人单位举证）。
     
   • 例外情形：若劳动者存在过错（如严重失职、被追究刑事责任等），用人单位无需支付补偿。

3. 若未签订书面劳动合同

   • 双倍工资差额：若用人单位自用工之日起超过1个月未签合同，需支付最多11个月的双倍工资差额（但需注意1年诉讼时效）。
     
   • 无固定期限合同：工作满10年未签合同，视为已订立无固定期限合同，用人单位违法解除仍需支付赔偿金。

4. 其他补偿可能性

   • 未休年假工资：若未安排年休假，需按日工资300%支付未休年假工资（含已支付部分）。
     
   • 加班费：若存在加班事实，可主张加班费及50%-100%的赔偿金。
     
   • 社保补缴：若未依法缴纳社保，可要求补缴或主张损失赔偿。

建议行动步骤：

1. 收集证据：劳动合同、工资记录、辞退通知、工作证明等；
   
2. 确认辞退原因及程序合法性；
   
3. 计算应得补偿金额；
   
4. 与用人单位协商或向劳动仲裁委申请仲裁。
   

温馨提示：补偿金额需结合具体案情计算，若涉及复杂情形（如竞业限制、服务期等），建议进一步提供细节以便精准分析。如有疑问，可直接向我咨询。