支持被申请人再审的情形主要包括以下几种：
有新的证据，足以推翻原判决、裁定的：
- 法律解释：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第一项规定，如果被申请人能够提供新的证据，且这些证据足以推翻原判决或裁定，那么法院应当支持其再审申请。
- 实例说明：例如，在一起合同纠纷案件中，原判决基于双方提供的证据认定了合同效力，但后来被申请人发现了新的证据，如对方在合同签订时的欺诈行为证明，这一新证据足以改变原判决对合同效力的认定，因此法院应支持其再审申请。
原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的：
- 法律解释：同样依据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第二项，如果原判决或裁定所认定的基本事实缺乏足够的证据支持，那么被申请人可以申请再审。
- 实例说明：如在一起侵权责任纠纷中，原判决认定被告对原告造成了损害，但被告在再审申请中提供了证据证明损害并非由其造成，且原判决中的关键证据存在瑕疵或不足，此时法院应考虑支持被告的再审申请。
原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的：
- 法律解释：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第三项，如果原判决或裁定所依据的主要证据是伪造的，那么被申请人有权申请再审。
- 实例说明：例如，在一起刑事案件中，原判决基于一份伪造的证人证言认定了被告人的罪行，但后来被告人提供了证据证明该证人证言是伪造的，此时法院应支持其再审申请。
原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证的：
- 法律解释：依据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第四项，如果原判决或裁定所依据的主要证据未经质证，即未经双方当事人充分辩论和审查，那么被申请人可以申请再审。
- 实例说明：如在一起民事诉讼中，原判决基于一份未经质证的专家意见认定了案件事实，但被告在再审申请中指出该专家意见未经质证，且其内容存在争议，此时法院应考虑支持被告的再审申请。
对审理案件需要的主要证据，当事人因客观原因不能自行收集，书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集的：
- 法律解释：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第五项，如果当事人因客观原因无法自行收集关键证据，并书面申请法院调查收集，但法院未进行调查收集，导致案件事实认定不清，那么当事人可以申请再审。
- 实例说明：例如，在一起环境污染责任纠纷中，原告因客观原因无法获取被告排放污染物的具体数据，书面申请法院调查收集，但法院未予调查，导致原判决对污染事实认定不清，此时原告可以申请再审。
原判决、裁定适用法律确有错误的：
- 法律解释：依据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第六项，如果原判决或裁定在适用法律上存在错误，如错误地解释了法律条款或错误地适用了法律原则，那么被申请人可以申请再审。
- 实例说明：如在一起知识产权纠纷中，原判决错误地适用了专利法的相关条款，导致对专利侵权行为的认定存在偏差，此时被告可以申请再审以纠正法律适用错误。
审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的：
- 法律解释：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第七项，如果审判组织的组成不合法，如审判人员人数不足或存在应当回避的情形而未回避，那么被申请人可以申请再审。
- 实例说明：例如，在一起民事诉讼中，原审判庭由两名审判员组成，但法律规定应由三名审判员组成合议庭，此时被告可以申请再审以纠正审判组织组成不合法的问题。
无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼的：
- 法律解释：依据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第八项，如果无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼，或者应当参加诉讼的当事人因不能归责于本人或其诉讼代理人的事由未参加诉讼，导致案件事实认定不清或权利受损，那么相关当事人可以申请再审。
- 实例说明：如在一起继承纠纷中，一名无诉讼行为能力的继承人未经法定代理人代为诉讼，导致其继承权被剥夺，此时该继承人的法定代理人可以申请再审以维护其合法权益。
违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的：
- 法律解释：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第九项，如果法院在审理过程中违反法律规定，剥夺了当事人的辩论权利，如未给予当事人充分的陈述和辩论机会，那么当事人可以申请再审。
- 实例说明：例如，在一起民事诉讼中，法院在庭审过程中未给予被告充分的陈述和辩论机会，导致被告无法有效维护自己的权益，此时被告可以申请再审以纠正这一程序错误。
未经传票传唤，缺席判决的：
- 法律解释：依据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第十项，如果法院在未经传票传唤当事人的情况下作出缺席判决，导致当事人无法参与庭审并维护自己的权益，那么当事人可以申请再审。
- 实例说明：如在一起民事诉讼中，法院未向被告送达传票即作出缺席判决，导致被告无法参与庭审并陈述自己的意见，此时被告可以申请再审以纠正这一程序错误。
原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的：
- 法律解释：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第十一项，如果原判决或裁定遗漏了当事人的诉讼请求或超出了当事人的诉讼请求范围，导致案件处理结果不公正或不符合当事人意愿，那么当事人可以申请再审。
- 实例说明：例如，在一起民事诉讼中，原告提出了多项诉讼请求，但原判决仅对其中的部分请求进行了处理，遗漏了其他请求，此时原告可以申请再审以要求法院对遗漏的请求进行审理。
据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的：
- 法律解释：依据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第十二项，如果据以作出原判决或裁定的法律文书（如其他法院的判决、裁定或行政机关的决定等）被撤销或变更，导致原判决或裁定的基础发生动摇，那么当事人可以申请再审。
- 实例说明：如在一起民事诉讼中，原判决依据了一份行政机关的决定认定了案件事实，但后来该决定被上级行政机关撤销或变更，此时当事人可以申请再审以要求法院重新审理案件。
审判人员审理该案件时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的：
- 法律解释：根据《中华人民共和国民事诉讼法》第二百零七条第十三项，如果审判人员在审理案件过程中存在贪污受贿、徇私舞弊或枉法裁判等违法行为，导致案件处理结果不公正或存在严重错误，那么当事人可以申请再审。
- 实例说明：例如，在一起民事诉讼中，审判人员收受了当事人的贿赂并作出了有利于该当事人的判决，此时其他当事人可以申请再审以揭露审判人员的违法行为并纠正判决错误。
总结与建议：
支持被申请人再审的情形多种多样，涵盖了证据、事实认定、法律适用、程序合法性等多个方面。当被申请人认为原判决或裁定存在上述情形之一时，可以向法院申请再审以维护自己的合法权益。在申请再审时，被申请人应充分准备相关证据和材料，以证明原判决或裁定存在错误或不当之处。同时，被申请人也应注意再审申请的时效性和程序要求，确保在法定期限内按照法定程序提出再审申请。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。