当民事案件检察院不提起抗诉时，当事人可以采取以下措施来维护自己的合法权益：

1. 了解不支持抗诉的原因：

   • 当事人应首先仔细查阅检察院作出的《不支持监督申请决定书》，明确不支持抗诉的具体理由。这些理由可能涉及证据不足、法律适用正确、程序合法等方面。通过了解原因，当事人可以更有针对性地准备后续行动。

2. 寻求其他救济途径：

   • 向上级检察机关申请复查：如果当事人对下级检察院的不支持决定有异议，可以在收到决定书后的一定期限内（具体期限需根据当地检察院的规定确定，一般为十日内）向上级检察机关提出申诉或申请复查。上级检察机关会对案件进行重新审查，并作出是否支持抗诉的决定。
   • 向法院申请再审：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。申请再审时，当事人需要提交再审申请书，并提供相关证据材料，证明原判决、裁定存在错误。法院会对再审申请进行审查，如果符合再审条件，会裁定再审；如果不符合再审条件，会驳回再审申请。
   • 考虑其他非诉讼解决方式：如和解、调解等。当事人可以尝试与对方当事人进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。此外，还可以借助人民调解委员会等机构进行调解，以达成和解协议。

3. 注意事项：

   • 遵守法定程序：当事人在寻求救济途径时，必须严格遵守法律规定的程序和期限。逾期未提出申请或未按照法定程序进行的，可能会丧失救济权利。
   • 准备充分证据：无论是申请再审还是其他救济途径，当事人都需要提供充分的证据来支持自己的主张。证据应当真实、合法且与案件事实相关联。建议当事人在准备证据时，咨询专业律师的意见，以确保证据的充分性和有效性。
   • 理性对待结果：当事人需要理性对待各种救济途径的结果。即使最终未能改变原判决、裁定，也应当尊重法律程序和法律结果。同时，当事人也可以考虑通过其他途径来维护自己的合法权益，如向相关部门反映情况、寻求社会监督等。

法律背景与建议：

• 在民事案件中，检察院不提起抗诉并不意味着当事人的权益无法得到保障。通过向上级检察机关申请复查、向法院申请再审等途径，当事人仍然有机会维护自己的合法权益。
• 在采取任何行动前，建议当事人充分了解相关法律规定和程序要求，避免盲目行动。如有需要，可以寻求专业律师的帮助和指导，以确保自己的行动合法有效。

可能法律后果：

• 如果当事人成功通过上级检察机关的复查或法院的再审程序，原判决、裁定可能会被撤销或变更，从而维护当事人的合法权益。
• 如果当事人未能通过上述途径改变原判决、裁定，则需要接受法律结果，并考虑通过其他途径来维护自己的权益或寻求心理安慰。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。