结论：母亲抛弃女儿再婚生子这一行为，从法律层面主要涉及的是抚养义务的履行问题，以及可能引发的抚养纠纷。是否可以起诉，取决于具体的情况和诉求，以下是详细分析：

一、关于抚养义务

1. 法律义务：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，父母对子女有抚养教育的义务。这一义务是法定的，不因父母是否再婚或生育其他子女而免除。如果母亲抛弃女儿，未履行抚养义务，女儿在未成年或需要抚养的情况下，有权要求母亲履行抚养义务。

2. 起诉主体：通常，起诉要求母亲履行抚养义务的主体是女儿本人（如果其已具备完全民事行为能力）或女儿的法定代理人（如父亲或其他监护人，如果女儿是未成年人）。

二、关于起诉的可能性与诉求

1. 要求履行抚养义务：如果女儿需要抚养，且母亲未履行抚养义务，女儿或其法定代理人可以向法院提起诉讼，要求母亲支付抚养费或履行其他抚养义务。

2. 关于再婚生子的影响：母亲再婚生子并不构成其免除对原女儿抚养义务的理由。无论母亲是否再婚或生育其他子女，她对原女儿的抚养义务都是法定的，必须履行。

3. 其他可能的诉求：如果母亲的行为对女儿造成了精神损害或其他损失，女儿在成年后还可以考虑提起侵权诉讼，要求母亲赔偿损失。但这一诉求的成立需要满足一定的法律条件，如证明母亲的行为存在过错、造成了实际损失等。

三、关于诉讼流程与注意事项

1. 收集证据：在提起诉讼前，需要收集相关证据来证明母亲未履行抚养义务的事实，如生活费用支出记录、教育费用支出记录、医疗费用支出记录等。同时，如果可能的话，还可以收集母亲再婚生子的相关证据，以证明其有能力但未履行抚养义务。

2. 咨询律师：在提起诉讼前，建议咨询专业律师，了解具体的法律程序和诉讼策略。律师可以根据具体情况提供专业的法律意见，帮助制定合适的诉讼方案。

3. 注意诉讼时效：如果女儿已经成年，且打算就母亲未履行抚养义务提起诉讼，需要注意诉讼时效的问题。根据法律规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间通常为三年，自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。

建议：如果你或你身边的人遇到了类似的情况，建议首先尝试与母亲进行沟通协商，看是否能够达成和解或履行抚养义务的协议。如果沟通无果，再考虑通过法律途径解决。在此过程中，如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。