便利店因卖烤肠超范围经营，可能面临责令改正、没收违法所得、罚款，甚至吊销营业执照的处罚。具体分析如下：

1. 超范围经营的定义与法律依据
   根据《中华人民共和国市场主体登记管理条例》及《食品经营许可管理办法》，便利店需在营业执照和食品经营许可证核准的范围内经营。若营业执照或食品经营许可证未包含“热食类食品制售”（如烤肠），则属于超范围经营。

2. 具体处罚措施

   • 责令改正：市场监管部门会首先要求便利店停止超范围经营行为，并限期办理变更登记（如增加经营范围）或申请新的食品经营许可。
     
   • 没收违法所得：若便利店已通过销售烤肠获利，监管部门可没收违法所得。
     
   • 罚款：根据《食品经营许可管理办法》第四十七条，超范围经营可处5000元以上3万元以下罚款；若情节严重（如多次违规、造成食品安全事故），罚款可能更高。
     
   • 吊销营业执照：若便利店拒不改正或存在严重违法行为，监管部门可吊销其营业执照，导致店铺停业。

3. 情节严重的认定标准

   • 多次违规：曾因超范围经营被处罚后仍不改正。
     
   • 食品安全问题：烤肠存在质量问题（如过期、变质），导致消费者健康受损。
     
   • 拒不配合调查：逃避监管检查或提供虚假材料。

4. 实际案例参考
   某地便利店因未取得“热食类食品制售”许可销售烤肠，被没收违法所得2000元，并处罚款1万元。若便利店及时整改（如申请增加经营范围），处罚可能从轻；若拒不整改，则可能面临更高罚款或停业整顿。

建议：便利店若想销售烤肠，需提前办理营业执照和食品经营许可证的变更手续，确保经营范围包含“热食类食品制售”。若已超范围经营，应立即停止销售并主动配合监管部门调查，以减轻处罚。如有进一步疑问，可直接向我咨询。